Dwa równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Sh3aker
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 22 lut 2016, o 16:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Daleko

Dwa równania różniczkowe cząstkowe

Post autor: Sh3aker » 3 cze 2018, o 19:55

Witam serdecznie.
Mam następujące zadanie z którym nie mogę sobie poradzić:
\(y\frac{dU}{dx}+x\frac{dU}{dy}=0\)
(Treść to chyba znaleźć rozwiązanie ogólne równania.)
Podstawiam:
\(\left\{\begin{array}{l} x=r\cos (\varphi)\\y=r\sin (\varphi)\\r=\sqrt{x^2+y^2}\\\varphi=\arctan (\frac{y}{x}) \end{array}\)

Pochodne \(r\) i \(\varphi\) po \(x\) i \(y\):

\(\left\{\begin{array}{l} \frac{dr}{dx}=\cos (\varphi)\\\frac{dr}{dy}=\sin (\varphi)\\\frac{d\varphi}{dx}=\frac{\sin (\varphi)}{r}\\\frac{d\varphi}{dy}=\frac{\cos (\varphi)}{r} \end{array}\)
Podstawiam za x i za y oraz zapisuję pochodną cząstkową U po x i po y:
\(y\frac{dU}{dx}+x\frac{dU}{dy}=r\sin (\varphi)(\frac{dU}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dx}+\frac{dU}{dr}\frac{dr}{dx})+r\cos (\varphi)(\frac{dU}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dy}+\frac{dU}{dr}\frac{dr}{dy})\)

Po zgrupowaniu i wyeliminowaniu jedynki trygonometrycznej otrzymuję:
\(\frac{dU}{d\varphi}+2r\sin (\varphi)\cos (\varphi)\frac{dU}{dr}=0\)
lub
\(\frac{dU}{d\varphi}+r\sin (2\varphi)\frac{dU}{dr}=0\)

I tak na prawdę nie wiem co dalej, bo nie widzę, żebym sprowadził to zadanie do prostszego przypadku.
Cóż innego można zrobić?


Drugie zadanie:
\(\frac{d^2U}{dx^2}-\frac{1}{4}\frac{d^2U}{dt^2}=0\)

Zakładam:
\(U(x;t) = U_{1}(x)U_{2}(t)\)

Liczę drugie pochodne:
\(\frac{d^2U}{dx^2}=U_{2}\frac{d^2U_{1}}{dx^2}\)
\(\frac{d^2U}{dt^2}=U_{1}\frac{d^2U_{2}}{dt^2}\)

I podstawiam do pierwszego równania:
\(U_{2}\frac{d^2U_{1}}{dx^2}-\frac{1}{4}U_{1}\frac{d^2U_{2}}{dt^2}=0\)

Grupuję stronami (dzielę przez \(U_1U_2\)) i ponieważ każda ze stron zależy od innej zmiennej to muszą obie być równe stałej. Np \(-\lambda\)

\(\frac{1}{U_{1}}\frac{d^2U_{1}}{dx^2}=\frac{1}{4}\frac{1}{U_{2}}\frac{d^2U_{2}}{dt^2}=-\lambda\)

Otrzymuję więc dwa niezależne równania:
\(\frac{d^2U_1}{dx^2}=-\lambda U_1\)

\(\frac{d^2U_2}{dt^2}=-4\lambda U_1\)

Rozwiązuję je podstawiając \(U_1\) lub \(U_2 = e^r^t\) i otrzymuję:

\(U_1=C_1\sin (\sqrt{\lambda}t)+C_2\cos (\sqrt{\lambda}t)\)

\(U_2=C_3\sin (2\sqrt{\lambda}t)+C_4\cos (2\sqrt{\lambda}t)\)

I tutaj moje notatki są niejednoznacznie. Nie wiem co dalej z tym zrobić.

Jakby ktoś bym uprzejmy poradzić coś na te dwa przypadki to będę bardzo wdzięczny.

Pozdrawiam serdecznie.
Oskar
Ostatnio zmieniony 3 cze 2018, o 19:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

ODPOWIEDZ