Matematyka.pl

Wykaż, że równanie \(\displaystyle{ x^{4}+ x^{3}+ x^{2} -3}\) ma tylko jedno rozwiązanie, które jest liczbą wymierną.
Z twierdzenia hornera wyznaczyłem, że pierwiastkiem jest 1, czyli to będzie rozwiązanie, ale czy tylko to wystarczy? Jak wykazać że równanie nie ma ja już więcej pierwiastków?

\(\displaystyle{ x^{4}+ x^{3}+ x^{2} -3}\) nie jest równaniem.
Jeżeli chodziło o
\(\displaystyle{ x^{4}+ x^{3}+ x^{2} -3{\red =0}}\), to nie jest prawdą, że to równanie ma tylko jeden pierwiastek (wielomian \(\displaystyle{ x^{4}+ x^{3}+ x^{2} -3}\) jest parzystego stopnia i jego pochodna nie zeruje się w \(\displaystyle{ x_0=1}\)), natomiast prawdą jest, że nie ma ono więcej rozwiązań wymiernych i by to stwierdzić, wystarczy sprawdzić wszystkie możliwości z tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych. Wszystkie możliwe pierwiastki wymierne wielomianu
\(\displaystyle{ x^{4}+ x^{3}+ x^{2} -3}\), to \(\displaystyle{ \pm 1, \ \pm 3}\), po podstawieniu tylko jeden z nich (a mianowicie \(\displaystyle{ 1}\)) zeruje wielomian.

Zadanie z matury próbnej..

[ciach]

-- 3 cze 2018, o 18:23 --

Pewnie tak