Podstawienie Eulera w całce

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
bulbulator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 mar 2016, o 13:34
Płeć: Mężczyzna

Podstawienie Eulera w całce

Post autor: bulbulator » 3 cze 2018, o 13:56

W zadaniu potrzebuję obliczyć całkę nieoznaczoną \(\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx\). Wygląda mi to na całkę w której mogę użyć podstawienia Eulera dla a<0 czyli \(\sqrt{ax^2+bx+c} = t(x- x_{1})\) ale nie wiem jak to zrobić za bardzo.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14144
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Podstawienie Eulera w całce

Post autor: Premislav » 3 cze 2018, o 20:06

\(\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=- \int_{}^{}(9-x^2-9)\sqrt{9-x^2}\,\dd x=-\int_{}^{}(9-x^2)^{\frac 3 2}\,\dd x+9 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x\)
„Policzmy" teraz przez części tę całkę:
\(\int_{}^{} (9-x^2)^{\frac 3 2}\,\dd x=x(9-x^2)^{\frac 3 2}+\int_{}^{} 3x^2\sqrt{9-x^2}\)
a zatem jeśli oznaczmy
\(I=\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx\), to otrzymaliśmy
\(I=-x(9-x^2)^{\frac 3 2}-3I+9 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x\)
a stąd
\(I=-\frac x 4 (9-x^2)^{\frac 3 2}+\frac 9 4 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x\)
a tę ostatnią całkę łatwo się liczy przez części:
\(\int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x= \int_{}^{} \frac{9-x^2}{\sqrt{9-x^2}} \,\dd x=\\=3\arcsin\left( \frac x 3\right)+\int_{}^{}x\left( \sqrt{9-x^2}\right)' \,\dd x=\\=3\arcsin\left( \frac x 3\right)+x\sqrt{9-x^2}- \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x\)
czyli jeśli \(J=\int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x\), to z dokładnością do stałej mamy
\(J=3\arcsin\left( \frac x 3\right)+x\sqrt{9-x^2}- J\), czyli
\(J=\frac 3 2\arcsin\left( \frac x 3\right)+\frac x 2\sqrt{9-x^2}+C\)
oraz ostatecznie
\(I=-\frac x 4 (9-x^2)^{\frac 3 2}+\frac 9 4 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x=\\=-\frac x 4 (9-x^2)^{\frac 3 2}+\frac{27}{8}\arcsin\left( \frac x 3\right) +\frac 9 8 x\sqrt{9-x^2}+C\)-- 3 cze 2018, o 19:11 --Mogłem się pomylić w jakichś rachunkach typu \(\frac 3 2\cdot 3\), ale idea może być właśnie taka.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Podstawienie Eulera w całce

Post autor: mariuszm » 3 cze 2018, o 21:02

Po podstawieniu Eulera dostaniemy następującą całkę

\(\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx\\ \sqrt{9-x^2}=\left( 3-x\right)t\\ \left( 3-x\right)\left( 3+x\right)=\left( 3-x\right)^2t^2\\ 3+x=\left( 3-x\right)t^2\\ 3+x = 3t^2-xt^2\\ xt^2+x=3t^2-3\\ x\left( t^2+1\right) = 3t^2-3\\ x=\frac{3t^2-3}{t^2+1}\\ \left( 3-x\right)t=\frac{\left( \left( 3t^2+3\right)-\left(3t^2-3 \right) \right) t }{t^2+1} \\ \left( 3-x\right)t=\frac{6t}{t^2+1}\\ \mbox{d}x =\frac{6t\left( t^2+1\right)-2t\left( 3t^2-3\right) }{\left( t^2+1\right)^2 } \mbox{d}t\\ \mbox{d}x =\frac{12t }{\left( t^2+1\right)^2 } \mbox{d}t\\ \int{ \frac{9\left( t^2-1\right)^2 }{\left( t^2+1\right)^2 } \cdot \frac{6t}{t^2+1}\frac{12t }{\left( t^2+1\right)^2 } \mbox{d}t }\\ 648\int{\frac{t^2\left( t^2-1\right)^2 }{\left( t^2+1\right)^{5} } \mbox{d}t}\)

Aby policzyć całkę którą otrzymaliśmy można zastosować wzór Ostrogradskiego
albo wzór redukcyjny

bulbulator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 mar 2016, o 13:34
Płeć: Mężczyzna

Re: Podstawienie Eulera w całce

Post autor: bulbulator » 3 cze 2018, o 21:10

Bardzo fajny pomysł z tym rozpisaniem na samym początku, @Premislav, nie myślałem żeby tak robić wcześniej, ale nie bardzo rozumiem w jaki dokładnie sposób obliczyłeś przez części całkę \(\sqrt{9-x^2}dx\) . Czy mógłbyś to bardziej nakreślić bo nie wychodzi mi tak jak tobie.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Podstawienie Eulera w całce

Post autor: mariuszm » 3 cze 2018, o 21:57

Do pierwszego całkowania przez części wziął

\(\mbox{d}u = \mbox{d}x \qquad v=\left( 9-x^2\right)^{ \frac{3}{2} }\)


ale przez części można całkować też w ten sposób


\(\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-\frac{1}{3}\int{\frac{-x^4}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\ \int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-\frac{1}{3}\int{\frac{9x^2-x^4-9x^2}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\ \int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-\frac{1}{3}\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx-\int{\frac{27-3x^2-27}{\sqrt{9-x^2}} \mbox{d}x }\\ \frac{4}{3}\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-3 \int_{}^{} { \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x }+27\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{9-x^2}} }\\ \int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{4}x^3 \sqrt{9-x^2}-\frac{9}{4}\int{ \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x } +\frac{81}{4}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\ \int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}- \int_{}^{} {\frac{-x^2}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\ \int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}- \int_{}^{} {\frac{9-x^2-9}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\ \int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}- \int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x+\int{ \frac{9}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\ 2\int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}+9 \int_{}^{} {\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} }}\\ \int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x = \frac{1}{2}x\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\int_{}^{} {\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} }}\\ \int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{4}x^3 \sqrt{9-x^2}-\frac{9}{4}\left(\frac{1}{2}x\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\int_{}^{} {\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} }} \right) +\frac{81}{4}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\ \int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{8}\left( 2x^3-9x\right) \sqrt{9-x^2} +\frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\ \frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\ x=3t\\ \mbox{d}x =3 \mbox{d}t\\ \frac{81}{8} \cdot 3 \int{ \frac{ \mbox{d}t}{ \sqrt{9-9t^2} } }\\ \frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}t}{ \sqrt{1-t^2} } }\\ \frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }=\frac{81}{8}\arcsin{\left( \frac{x}{3} \right) }\\ \int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{8}\left( 2x^3-9x\right) \sqrt{9-x^2} +\frac{81}{8}\arcsin{\left( \frac{x}{3} \right) }+C\\\)

ODPOWIEDZ