Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia początkowego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Chomik19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 3 gru 2017, o 15:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia początkowego

Post autor: Chomik19 » 3 cze 2018, o 09:36

Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia początkowego: \(y''-3y'-4y=0\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=2\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia początkowego

Post autor: Premislav » 3 cze 2018, o 09:42

\(y(t)=\frac 2 5 e^{-t}+\frac 3 5e^{4t}\)

Można to przeliczyć w pamięci.-- 3 cze 2018, o 08:44 --A metodę rozwiązywania masz tutaj.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia początkowego

Post autor: mariuszm » 3 cze 2018, o 22:07

Przekształcenie Laplace dobrze się sprawdzi w tym równaniu

\(y''-3y'-4y=0\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=2\)

\(\mathcal{L}{f''\left( t\right) }= \int_{0}^{ \infty }f^{''}\left( t\right)e^{-st} \mbox{d}t \\ \mathcal{L}{f''\left( t\right) }=f'\left( t\right)e^{-st}\biggl|_{0}^{ \infty } +s\int_{0}^{ \infty }f'\left( t\right)e^{-st} \mbox{d}t\\ \mathcal{L}{f''\left( t\right) }=- f'\left( 0\right)+s\mathcal{L}{f'\left( t\right) }\\ \mathcal{L}{f'\left( t\right) }=f\left( t\right)e^{-st}\biggl|_{0}^{ \infty }+s\int_{0}^{ \infty }f\left( t\right)e^{-st} \mbox{d}t \\ \mathcal{L}{f'\left( t\right) }=-f\left( 0\right) +s\mathcal{L}{f\left( t\right) }\\ \mathcal{L}{f''\left( t\right) }=-y'\left( 0\right)-sy\left( 0\right)+s^2Y\left( s\right) \\ \mathcal{L}{f'\left( t\right) }=-y\left( 0\right)+sY\left( s\right)\\\)

\(\left( -2-s+s^2Y\left( s\right)\right)-3\left( -1+sY\left( s\right) \right)-4Y\left( s\right)=0\\ -2-s+3+\left( s^2-3s-4\right) Y\left( s\right)=0\\ 1-s +\left( s^2-3s-4\right) Y\left( s\right)=0\\ \left( s^2-3s-4\right) Y\left( s\right)=s-1\\ \left( s+1\right)\left( s-4\right)Y\left( s\right)=s-1\\ Y\left( s\right)=\frac{s-1}{\left( s+1\right)\left( s-4\right)}\\ \frac{s-1}{\left( s+1\right)\left( s-4\right)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s-4}\\ A\left( s-4\right) +B\left( s+1\right) =s-1\\ \begin{cases} A+B=1 \\ -4A+B=-1 \end{cases} \\ \begin{cases} A+B=1 \\ 4A-B=1 \end{cases} \\ \begin{cases} B=1-A \\ 5A=2 \end{cases} \\ \begin{cases} 5B=3 \\ 5A=2 \end{cases} \\ Y\left( s\right)=\frac{2}{5} \frac{1}{s+1} +\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{s-4} \\ y\left( t\right) =\frac{2}{5}e^{-t}+\frac{3}{5}e^{4t}\\\)

ODPOWIEDZ