Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia początkowego

[Chomik19]

Wyznaczyć całkę szczególną zagadnienia początkowego: \(\displaystyle{ y''-3y'-4y=0}\), \(\displaystyle{ y(0)=1}\), \(\displaystyle{ y'(0)=2}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ y(t)=\frac 2 5 e^{-t}+\frac 3 5e^{4t}}\)

Można to przeliczyć w pamięci.-- 3 cze 2018, o 08:44 --A metodę rozwiązywania masz

Kod: Zaznacz cały

http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/am/scb/index91.html

.

[Mariusz M]

Przekształcenie Laplace dobrze się sprawdzi w tym równaniu

\(\displaystyle{ y''-3y'-4y=0}\), \(\displaystyle{ y(0)=1}\), \(\displaystyle{ y'(0)=2}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L}{f''\left( t\right) }= \int_{0}^{ \infty }f^{''}\left( t\right)e^{-st} \mbox{d}t \\
\mathcal{L}{f''\left( t\right) }=f'\left( t\right)e^{-st}\biggl|_{0}^{ \infty } +s\int_{0}^{ \infty }f'\left( t\right)e^{-st} \mbox{d}t\\
\mathcal{L}{f''\left( t\right) }=- f'\left( 0\right)+s\mathcal{L}{f'\left( t\right) }\\
\mathcal{L}{f'\left( t\right) }=f\left( t\right)e^{-st}\biggl|_{0}^{ \infty }+s\int_{0}^{ \infty }f\left( t\right)e^{-st} \mbox{d}t \\
\mathcal{L}{f'\left( t\right) }=-f\left( 0\right) +s\mathcal{L}{f\left( t\right) }\\
\mathcal{L}{f''\left( t\right) }=-y'\left( 0\right)-sy\left( 0\right)+s^2Y\left( s\right) \\
\mathcal{L}{f'\left( t\right) }=-y\left( 0\right)+sY\left( s\right)\\}\)

\(\displaystyle{ \left( -2-s+s^2Y\left( s\right)\right)-3\left( -1+sY\left( s\right) \right)-4Y\left( s\right)=0\\
-2-s+3+\left( s^2-3s-4\right) Y\left( s\right)=0\\
1-s +\left( s^2-3s-4\right) Y\left( s\right)=0\\
\left( s^2-3s-4\right) Y\left( s\right)=s-1\\
\left( s+1\right)\left( s-4\right)Y\left( s\right)=s-1\\
Y\left( s\right)=\frac{s-1}{\left( s+1\right)\left( s-4\right)}\\
\frac{s-1}{\left( s+1\right)\left( s-4\right)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s-4}\\
A\left( s-4\right) +B\left( s+1\right) =s-1\\
\begin{cases} A+B=1 \\ -4A+B=-1 \end{cases} \\
\begin{cases} A+B=1 \\ 4A-B=1 \end{cases} \\
\begin{cases} B=1-A \\ 5A=2 \end{cases} \\
\begin{cases} 5B=3 \\ 5A=2 \end{cases} \\
Y\left( s\right)=\frac{2}{5} \frac{1}{s+1} +\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{s-4} \\
y\left( t\right) =\frac{2}{5}e^{-t}+\frac{3}{5}e^{4t}\\}\)