Matematyka.pl

Witam! Męcze się z tym już parę godzin i nie wiem jak do tego tematu podejść.

Zadanie: Podaj wzór ogólny dla ciągu zdefiniowanego następująco i udowodnić jego prawdziwość

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=0 \\ a_{n}=2 \cdot a_{n-1} + 1 \end{cases}}\)

Hint:
\(\displaystyle{ a_n=2^{n-1}-1}\)

Niech
\(\displaystyle{ b_n=a_{n+1}-a_n}\), wówczas \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ b_1=1}\), więc \(\displaystyle{ b_n=2^{n-1}}\), ponadto skoro dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\) jest
\(\displaystyle{ a_n=2\cdot a_{n-1}+1}\), to \(\displaystyle{ a_{n-1}+1=b_{n-1}=2^{n-2}}\)

Możesz to zrobić na kilka sposobów. Elementarne również wydaje się wypisanie kilku kolejnych wyrazów ciągu następnie postawianie jakiejś tezy i udowodnienie jej indukcyjnie.

\(\displaystyle{ \left\{ a_n\right\}_{n\in\NN}=\left\{ 0,1,3,7,15,31,63,...\right\}}\)

Widać że są to potęgi \(\displaystyle{ 2}\) pomniejszone o \(\displaystyle{ 1}\) dlatego \(\displaystyle{ a_n=2^{n-1}-1}\) a przynajmniej takie jest podejrzenie. Pierwszy krok indukcyjny już zrobiony właściwie na żądanie. Sprawdzamy czy implikacja tezy dla \(\displaystyle{ T(n+1)}\) jest prawdziwa przy założeniu \(\displaystyle{ a_n=2^{n-1}-1}\) (czyli \(\displaystyle{ T(n)}\)).

\(\displaystyle{ a_{n+1}=2a_n+1=2\left( 2^{n-1}-1\right)+1=2^n-1}\)

co kończy dowód.

Premislav pisze:Niech
\(\displaystyle{ b_n=a_{n+1}-a_n}\), wówczas \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(\displaystyle{ 2}\)

To chyba nie jest łatwo zauważyć.

\(\displaystyle{ a_{n+1}=2a_n+1=2(a_n+1)-1}\) a stąd
\(\displaystyle{ a_{n+1}+1=2(a_n+1)}\), więc \(\displaystyle{ b_n=a_n+1}\) jest geometryczny

To chyba nie jest łatwo zauważyć.

To jest względne. Dla niektórych ludzi, niekoniecznie z tytułami naukowymi, „łatwo zauważyć" coś, czego nie wymyśliłbym przez całe życie i nie hiperbolizuję. Dyskusja na temat tego, co łatwo, a co niełatwo zauważyć, jest więc pozbawiona sensu, ponieważ to zależy od człowieka.

Premislav pisze:

To chyba nie jest łatwo zauważyć.

To jest względne. Dla niektórych ludzi, niekoniecznie z tytułami naukowymi, „łatwo zauważyć" coś, czego nie wymyśliłbym przez całe życie i nie hiperbolizuję. Dyskusja na temat tego, co łatwo, a co niełatwo zauważyć, jest więc pozbawiona sensu, ponieważ to zależy od człowieka.

Napisałem tak, bo nie widzę jak to wprost wynika z definicji. Wdzięczny będę, jak pokażesz


No dobra, już widzę