Matematyka.pl

Jasne jest, że każdy jednorodny układ liniowy opisuje jakąś podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) (w razie sprzecznego mamy zbiór pusty), ale pytanie, czy zachodzi implikacja odwrotna, tzn. czy każda podprzestrzeń liniowa da się opisać za pomocą jakiegoś jednorodnego liniowego układu równań?

Tak. Każdej podprzestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\) odpowiada jakiś (niekoniecznie jeden) jednorodny układ równań. Jest to wniosek z samego sposobu rozwiązywania takich równań. Równania te rozwiązujemy wykorzystując jedynie przekształcenia równoważne \(\displaystyle{ \left( \Leftrightarrow \right)}\) dlatego implikacja odwrotna jest słuszna.