Udowodnić podzielność

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
Awatar użytkownika
RyHoO16
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1822
Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WLKP
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 487 razy

Udowodnić podzielność

Post autor: RyHoO16 » 1 paź 2007, o 19:58

1. Liczby -1,0,1 są miejscami wielomianu W o współczynnikach całkowitych. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej "a" liczba W(a) jest podzielna przez 6.

2.Wykaż, że jeżeli liczby 0,1,2,3 są miejscami zerowymi wielomianu W o współczynnikach całkowitych, to dla każdej liczby całkowitej "k" liczba W(k)jest podzielna przez 24

Za wszelkie rozwiązania wIElKie ThX.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Udowodnić podzielność

Post autor: kuch2r » 1 paź 2007, o 20:52

Zauwaz, ze jezeli \(\displaystyle{ -1,0,1}\) sa miejscami zerowymi wielomianiu\(\displaystyle{ W(x)}\) o wspolczynnikach calkowitych, to:
(korzystamy z twierdzenia Bezout)
\(\displaystyle{ W(x)=x\cdot (x-1)\cdot (x+1) (\sum\limits_{i=0}^{n} a_i\cdot x^i)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \forall a\in Z \quad 6|W(a)}\),
bo iloczyn \(\displaystyle{ a\cdot (a-1)\cdot (a+1)}\), jest iloczynem 3 kolejnych liczb naturalnym, co za tym idzie, jedna z tym liczb musi byc podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) oraz jedna z tych liczb musi byc podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
Analogicznie nastepne zadanie...

Awatar użytkownika
RyHoO16
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1822
Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WLKP
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 487 razy

Udowodnić podzielność

Post autor: RyHoO16 » 1 paź 2007, o 21:58

To dobrze myślę na temat tego drugiego:
Jeżeli k-to pierwiastek całkowity to
\(\displaystyle{ W(k)=k(k-1)(k-2)(k-3)}\). Z tego wiem, że są to kolejne liczby całkowite. Na pewno co najmniej j jedna z nich jest podzielna 4 i na pewno przez 3 zaś dwie dzielą się przez 2. Tylko nie wiem czy dobrze myślę

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Udowodnić podzielność

Post autor: kuch2r » 1 paź 2007, o 22:03

jest to iloczyn czterech kolejnych liczb calkowitych, czyli napewno jedna z nich jest podzielna przez 4, jedna przez 3 i jedna przez 2 ...

Awatar użytkownika
RyHoO16
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1822
Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WLKP
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 487 razy

Udowodnić podzielność

Post autor: RyHoO16 » 1 paź 2007, o 22:22

wielkie dzięki za pomoc

ODPOWIEDZ