Udowodnić podzielność

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
Awatar użytkownika
RyHoO16
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1822
Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WLKP
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 487 razy

Udowodnić podzielność

Post autor: RyHoO16 » 1 paź 2007, o 19:58

1. Liczby -1,0,1 są miejscami wielomianu W o współczynnikach całkowitych. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej "a" liczba W(a) jest podzielna przez 6.

2.Wykaż, że jeżeli liczby 0,1,2,3 są miejscami zerowymi wielomianu W o współczynnikach całkowitych, to dla każdej liczby całkowitej "k" liczba W(k)jest podzielna przez 24

Za wszelkie rozwiązania wIElKie ThX.

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Udowodnić podzielność

Post autor: kuch2r » 1 paź 2007, o 20:52

Zauwaz, ze jezeli \(\displaystyle{ -1,0,1}\) sa miejscami zerowymi wielomianiu\(\displaystyle{ W(x)}\) o wspolczynnikach calkowitych, to:
(korzystamy z twierdzenia Bezout)
\(\displaystyle{ W(x)=x\cdot (x-1)\cdot (x+1) (\sum\limits_{i=0}^{n} a_i\cdot x^i)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \forall a\in Z \quad 6|W(a)}\),
bo iloczyn \(\displaystyle{ a\cdot (a-1)\cdot (a+1)}\), jest iloczynem 3 kolejnych liczb naturalnym, co za tym idzie, jedna z tym liczb musi byc podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) oraz jedna z tych liczb musi byc podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
Analogicznie nastepne zadanie...

Awatar użytkownika
RyHoO16
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1822
Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WLKP
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 487 razy

Udowodnić podzielność

Post autor: RyHoO16 » 1 paź 2007, o 21:58

To dobrze myślę na temat tego drugiego:
Jeżeli k-to pierwiastek całkowity to
\(\displaystyle{ W(k)=k(k-1)(k-2)(k-3)}\). Z tego wiem, że są to kolejne liczby całkowite. Na pewno co najmniej j jedna z nich jest podzielna 4 i na pewno przez 3 zaś dwie dzielą się przez 2. Tylko nie wiem czy dobrze myślę

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Udowodnić podzielność

Post autor: kuch2r » 1 paź 2007, o 22:03

jest to iloczyn czterech kolejnych liczb calkowitych, czyli napewno jedna z nich jest podzielna przez 4, jedna przez 3 i jedna przez 2 ...

Awatar użytkownika
RyHoO16
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1822
Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WLKP
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 487 razy

Udowodnić podzielność

Post autor: RyHoO16 » 1 paź 2007, o 22:22

wielkie dzięki za pomoc

ODPOWIEDZ