Matematyka.pl

Mam do rozwiązania pewną kratownicę metodą równoważenia węzłów ale muszę stosować się do konkretnego schematu postępowania i mam w związku z tym kilka pytań.

1. Pręty zerowe - wg mnie 1, 4 i 5 są zerowe, ktoś może to potwierdzić?
2. Warunki równowagi statycznej. Korzystam ze wzoru:
il. niewiadomych = il. równań
il. niewiadomych = 6 sił w prętach (nie uwzględniam prętów zerowych) + 3 reakcje podporowe = 9
il. równań = 5 węzłów * 2 = 10

Czyli równość nie jest spełniona zatem układ jest statycznie niewyznaczalny? Jeśli tak to czy zgodnie ze "sztuką" mogę go nadal obliczyć metodą równoważenia węzłów?

Czy jeśli węzeł F ma tylko jeden pręt to jeszcze jest węzeł czy już nie? A jeśli nie to co z prętem 2?

3. Algorytm Cremony, rozpisałem go następująco:
D->3,9
F->2
E,2,3->7,8
B,9,8->Rby,6
A,6,7->Rax,Ray

W węźle F mam tylko jedną niewiadomą, w schemacie postępowania jest napisane że muszą być dwie a w zeszycie że max 2.

Odpowiedzi:
do 1. : NIKT, pręt 1 nie jest zerowym,.
do 2. i następnych: Siły zewnętrzne czynne i bierne obciążają ustrój prętowy z zewnątrz i ich równowaga zapewnia brak ruchu ustroju, niezmienność położenia.
Sily w prętach, zależne od sił przyłożonych do ustroju, nie mają wpływu na jego położenie a tylko na stateczność prętów i ustroju. Będąc w zgodzie z odpowiednim twierdzeniem nie wykonują pracy zewnętrznej, zatem nie wpływają na siły zewnętrzne.
Obu ich rodzajów nie można więc opisywać wspólnymi równaniami.
Kratownica jest zewnątrznie statycznie wyznaczalna a niewiadome są trzy, \(\displaystyle{ R_{A_x}, \ R_{A_y}, R_{B_y}}\), bądź \(\displaystyle{ R_A, \angle \alpha \ i \ R_{B_y}}\), bo kąt \(\displaystyle{ \beta}\) jest znany; ale i wewnętrznie równierz, co sprawdza równanie ilości pętów do ilości węzłów.

Dziękuję za odpowiedź, chciałbym jednak dowiedzieć się dlaczego pręt 1 nie jest prętem zerowym ponieważ różnymi metodami uzyskałem różne wyniki.

1. Rozwiązując kratownicę w programie komputerowym siła w pręcie 1 rzeczywiście nie jest zerowa(-6.02kN)
2. Pisząc sumę rzutów na oś y w punkcie F otrzymuje: \(\displaystyle{ - s_1sin\alpha =0}\) zatem \(\displaystyle{ s_1=0}\) (za kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) przyjąłem kąt pomiędzy prętami 1 i 2)
3. Tworząc macierz z wszystkich równań, którą obliczam w programie komputerowym metodą eliminacji Gaussa wartość siły s1 również jest równa 0.
4. Wreszcie, korzystając z twierdzenia o prętach zerowych:
Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 2 pręty i węzeł jest obciążony siłą leżącą na kierunku
jednego z nich, to siła wewnętrzna w drugim pręcie jest równa zeru

Zatem jeśli dobrze interpretuje to twierdzenie (o ile jest ono prawdziwe) to pręt 1 jest zerowy.

Gdyby nie pręt 1 , to nie byłoby tej "przyczyny" która punkt 1 pręta 2 , ale i kratownicy, utrzymuje w odległości \(\displaystyle{ l_1}\) od punktu A zapewniając niezmienność odległości węzła 1 od pozostałych węzłów.
Zerowość pręta to nie zerowość siły przez niego przenoszonej. To jego zbyteczność, przy zachowaniu niezmienności odległości między obciążonymi węzłami i ich "nieruchowości", braku możliwości obrotu prętów pod działaniem sił, co jest równoważne z odebraniem im wszystkich możliwych stopni swobody (dla płaskiej kratownicy mają ich po trzy). Proszę zauważyć, że gdyby siła \(\displaystyle{ P_1}\) była zwrócona od kratowniy, to pręt 1 byłby zbyteczny i zamiast niego, ciągnącego kratownicę za węzeł E można byłoby użyć wiotkiego dowolnie długiego sznurka, cięgna, a nie sztywnej żerdzi mogącej obracać się wokół węzła E mającej jeden stopień swobody.