Matematyka.pl

Cześć! Zacząłem ostatnio walkę z szeregami liczbowymi. Dalej mam problemy z dopasowaniem kryterium przy niektórych przykładach, ale idzie coraz lepiej, jednak zmogły mnie te (początkowe , bo z dalszymi jakoś sobie radzę) zadania:
"Zbadaj zbieżność szeregów: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }n \sin\frac{1}{n^{2}}}\), \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\tg^{2}\frac{1}{ \sqrt{n}}}\), \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}}\). Dosłownie nie wiem jak się do tego dobrać. Próbowałem z kryterium porównawczego, ale nie mogłem dopasować tak, żeby mi się zgadzał znak nierówności. Bardzo proszę o pomoc, choćby jakieś nakierowanie, cokolwiek

Pierwsze:
dla \(\displaystyle{ x \in \left[ 0, \frac \pi 2\right]}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sin x\ge \frac{2}{\pi}x}\), którą można udowodnić za pomocą rachunku różniczkowego.
Dalej wystarczy powołać się na kryterium porównawcze i rozbieżność szeregu harmonicznego.

W drugim skorzystaj z nierówności \(\displaystyle{ \tg x \ge x}\) dla \(\displaystyle{ x \in\left( 0, \frac \pi 2\right)}\).

W trzecim zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\ge \frac{1}{n+1}}\) dla \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) i zastosuj również kryterium porównawcze.

we wszystkich przypadkach porównuj z \(\displaystyle{ \sum\frac1n}\)

Premislav pisze: W trzecim zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\ge \frac{1}{n+1}}\) dla \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) i zastosuj również kryterium porównawcze.

Wierząc na słowo, pasuje. Też tak chciałem zrobić, ale nie wiedziałem skąd by mi się to miało wziąć, bo robiłem tak: "\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} \ge \frac{1}{n(n+1)}}\) i jeżeli w mianowniku wpiszę w następnym kroku samo \(\displaystyle{ n+1}\)(zmniejszając go) to cały ułamek mi się zwiększy, a to mi nic nie da przy kryterium porównawczym. Ale pewnie coś robię źle