Matematyka.pl

Witam, proszę o wskazówki rozwiązania następującego zadania:

Dane są liczby zespolone \(\displaystyle{ z_{1}, z_{2}}\), których moduły są równe 1 oraz \(\displaystyle{ z_{1}z_{2} \neq -1}\).

Pokazać, że liczba \(\displaystyle{ \frac{z_{1}+z_{2}}{1+z_{1}z_{2}}}\) jest rzeczywista.

Przedstawiając liczby na płaszczyźnie zespolonej i sumując odpowiednie wektory widać, że ten iloraz będzie równy 1. Chciałbym jednak bardziej oficjalne rozwiązanie, męczę się przedstawiając te liczby w postaci wykładniczej ale nie mogę dojść do postawionej tezy.

Wszelka pomoc mile widziana

Pewnie istnieje jakieś magiczne rozwiązanie, ale wystarczy zapisać \(\displaystyle{ z_1=e^{ix}, \ z_2=e^{iy}}\) i pomnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{1+e^{-i(x+y)}}{1+e^{-i(x+y)}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}= \frac{z_1}{1+z_1z_2}+ \frac{z_2}{1+z_1z_2} = \frac{1}{ \frac{1}{z_1}+z_2 }+\frac{1}{ \frac{1}{z_2}+z_1 }}\)
\(\displaystyle{ z\cdot\overline{z}=\left| z\right|^2}\)

\(\displaystyle{ \overline{z_2}\cdot\overline{z_1}=\overline{z_2z_1}}\)

\(\displaystyle{ \Im{(\overline{z}+z)}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{z_1}+z_2 }+\frac{1}{ \frac{1}{z_2}+z_1 }= \frac{1}{\overline{z_1}+z_2}+\frac{1}{\overline{z_2}+z_1}= \frac{\overline{z_2}+z_1+\overline{z_1}+z_2}{\overline{z_1}\overline{z_2}+z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}+z_1z_2}\in \mathbb{R}}\)