nierówność wielomianowa

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
avon

nierówność wielomianowa

Post autor: avon » 1 paź 2007, o 17:31

a) \(\displaystyle{ {-x}^4+{x}^3+{7x}^2}\)≥0
b) x�-x�-7x≤0
c) \(\displaystyle{ {-x}^4+{10x}^3+{11x}^2>0}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

nierówność wielomianowa

Post autor: Piotr Rutkowski » 1 paź 2007, o 17:38

a)wyciągnij przed nawias \(\displaystyle{ x^{2}}\), które zawsze jest dodatnie, a potem rozważ funkcję kwadratową w nawiasie.
b)tutaj wyciągnij x przed nawias, rozważ przypadki kiedy x jest ujemne, a kiedy nie, a potem porównaj z funkcją kwadratową w nawiasie
c)tak samo jak w punkcie a) (pamiętaj o tym, że funkcja tu jest ostra!)

avon

nierówność wielomianowa

Post autor: avon » 1 paź 2007, o 18:30

nie potrafię, przepraszam, ale nie rozumiem

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

nierówność wielomianowa

Post autor: Piotr Rutkowski » 1 paź 2007, o 18:43

Zrobię dla przykładu podpunkt a):
\(\displaystyle{ -x^{4}+x^{3}+7x^{2}\geq 0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(-x^{2}+x+7)\geq 0}\)
Skoro \(\displaystyle{ x^{2}\geq 0}\), to wystarczy rozważyć to, co mamy w nawiasie, czyli sprawdzić kiedy:
\(\displaystyle{ -x^{2}+x+7 q 0}\) skoro współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest ujemny to funkcja będzie przyjmowala wartości nieujemne pomiędzy miejscami zerowymi, a więc rozwiążmy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ -x^{2}+x+7=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=1+4*7=29}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-1+\sqrt{\Delta}}{-2}=\frac{1-\sqrt{29}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{-1-\sqrt{\Delta}}{-2}=\frac{1+\sqrt{29}}{2}}\), a więc nasza nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ \frac{1-\sqrt{29}}{2} q x q \frac{1+\sqrt{29}}{2}}\)

Awatar użytkownika
RyHoO16
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1822
Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WLKP
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 487 razy

nierówność wielomianowa

Post autor: RyHoO16 » 1 paź 2007, o 22:53

b)\(\displaystyle{ x^3-x^2-7x qslant 0}\)
Tak jak napisał wyżej polskimisiek wyciągamy x przed nawias i mamy
\(\displaystyle{ x(x^2-x-7) qslant 0\\
\Delta \ = 29 \\
x_{1,2}=\frac{1 \sqrt{29}}{2}}\)

czyli, najlepiej narysuj sobie to na osi, zaznacz punkty (\(\displaystyle{ 0, \frac{1 \sqrt{29}}{2}}\))
\(\displaystyle{ x\in \ \langle -\infty,\frac{1-\sqrt{29}}{2} \rangle \ \cup \ \langle 0, \frac{1+\sqrt{29}}{2} \rangle}\) co kończy zadanie.

ODPOWIEDZ