Podzielność przez 4

[koziol196906]

Dane są dwie liczby parzyste \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), niepodzielne przez \(\displaystyle{ 4}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ a^{3}-b^{3}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\).

[Jan Kraszewski]

1. Zastosuj wzór skróconego mnożenia.
2. Zastanów się, jakie reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) dają liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

JK

[retset123]

\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\). Mozna teraz np. wstawic za \(\displaystyle{ a}\)i \(\displaystyle{ b}\) dwie liczby parzyste, wtedy rownanie bedzie wygladalo nastepujaco: \(\displaystyle{ (2n-2k)((2n)^2+2n2k+(2k)^2)}\). Teraz wyciagniemy \(\displaystyle{ 4}\) przed nawias: \(\displaystyle{ 2(n-k)(n^2+nk+k^2)4}\). Latwo zauwazyc, ze to jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\), poniewaz iloczyn zawiera liczbe \(\displaystyle{ 4}\).
Z zadania tez wiemy, iz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) sa liczbami parzystymi, niepodzielnymi przez \(\displaystyle{ 4}\). W drugim nawiasie mnozymy ze soba trzy razy dwie parzyste liczby niepodzielne przez 4 i dodajemy je do siebie, a taka suma bedzie podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\).

[Jan Kraszewski]

Dość chaotycznie to napisałeś.

Istotnie, w zadaniu założono za dużo. To, czy liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są czy nie są podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) nie ma wpływu na prawdziwość tezy (co zauważyłeś w pierwszym akapicie), więc drugi akapit jest zupełnie zbędny.

Inna sprawa, że skoro \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są parzyste, to ich sześciany są podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\), więc ich różnica też i nie trzeba żadnych wzorów skróconego mnożenia czy reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\)...

JK

[retset123]

Rozumiem, tylko uzylem wzoru skroconego mnozenia, bo pan tak zaproponowal w poprzedniej odpowiedzi. Dziekuje za poprawienie.

[Jan Kraszewski]

No cóż, i mnie zdarza się dawać nieoptymalne wskazówki...

JK