Różniczka zupełna czynnikiem całkowym

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
relic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 17 sty 2017, o 05:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Różniczka zupełna czynnikiem całkowym

Post autor: relic » 20 maja 2018, o 23:48

Witam,

\(N \mbox{d}x +M \mbox{d}y=(x^2y^3+y) \mbox{d}x +(x^3y^2-x) \mbox{d}y=0\)
\(N_y=3y^2x^2+1\),\(M_x=3y^2x^2-1\)
\(N_y-M_x=2 \neq 0\)

Szukam czynnika całkowego postaci \(\mu(\sqrt{xy})\)
\(\mu_x=\frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}\mu'\),\(\mu_y=\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}\mu'\)
Teraz wymnazam róœnanie wyjściowe przez czynnik i różniczkuje
\(\mu(N_y-M_x)=2\mu=\mu_xM-\mu_yN=\mu' \frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}M-\mu'\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}N=\break= \mu'\frac{\sqrt y}{2\sqrt{x}}(x^3y^2-x) -\mu'\frac{\sqrt x}{2\sqrt{y}}(x^2y^3+y)=\mu'\frac{1}{2}((xy)^{\frac{5}{2}}-\sqrt{xy})-\mu'\frac{1}{2}((xy)^{\frac{5}{2}}+\sqrt{xy})=\break =-\mu'\sqrt{xy}\)

Mamy równanie
\(2\mu=-\mu'\sqrt{xy}\),niech \(t=\sqrt{xy}\). Wtedy rownanie ma postac (\(\mu\) jest funkcja zmiennej \(t=\sqrt{xy}\))


\(\frac{ \mbox{d}\mu }{\mu}= \frac{-2 \mbox{d}t }{t}\) którego rozwiązaniem jest np
\(\mu(t)=t^{-2}\)

Zatem czynnik calkujacy to \(\mu(x,y)= \frac{1}{xy}\)

Ale niestety,
\((\mu N)_y=\left( \frac{x^2y^2+1}{x}\right)_y \neq \left( \mu M\right)_x=\left( \frac{x^3y^2-x}{xy} \right)_x =\left( \frac{x^2y^2-1}{y} \right)_x\)
co widac od razu

Co poszło nie tak?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Różniczka zupełna czynnikiem całkowym

Post autor: janusz47 » 21 maja 2018, o 20:52

\(M(x,y):= M, \ \ N(x,y) := N, \ \ \mu(x,y) := \mu.\)

\(\mu M dx + \mu N dy = 0\) (1)

\((\mu M)_{|y} = ( \mu N)_{|x}\) (2)

\(\mu_{y}M + \mu M_{y} = \mu_{x} N - \mu N_{x}\) (3)

\(\mu_{y}M - \mu_{x}N = \mu ( N_{x} - M_{y})\) (4)

Kładąc

\(N_{x} - M_{y} = R(z)( xM - yM); \ \ z = xy\) (5)

\(\mu_{y} M - \mu_{x}N = R(z)(\mu x M - \mu y N)\) (6)

\(\begin{cases} \mu_{y} = \mu x R(z)\\ \mu_{x} = \mu_{y}R(z) \end{cases}\) (7)

\(\mu = \mu(x,y) = \mu(z)\) (8)

\(\mu_{x}(z) = \frac{\partial \mu}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=\mu'(z) y\) (9)

\(\mu_{y}(z) = \frac{\partial \mu}{\partial z}\cdot \frac{ \partial z}{\partial y}= \mu'(z) x\) (10)

\(\begin{cases} \mu'(z) x = \mu(z) x R(z) \\ \mu'(z)y = \mu(z) y R(z) \end{cases}\) (11)

\(\mu'(z) = \mu(z) R(z) \rightarrow \frac{d\mu}{\mu} = R(z)dz\) (12)

\(\mu(z) = e^{\int R(z)dz }\) (13)

\(\frac{N_{x} - M_{y}}{xM - yN} = R(xy) = R(z)\) (14)

\((x^2 y^3 + y)dx + ( x^3 y^2 - x) dy = 0\) (15)

Z (14):

\(R(x,y) = \frac{3x^2-1 -3x^2 -1}{x^3y^3 +xy -x^3y^3 +xy}= \frac{-2}{2xy}=\frac{-1}{xy}= -\frac{1}{z}\) (16)

Z ( 13):

\(\mu(z) = e^{-\int \frac{1}{z}dz} = e^{-\ln(z)}= \frac{1}{z}= \frac{1}{xy}\) (17)

\(\frac{1}{xy}\left( x^2 y^3 +y \right )dx + \frac{1}{xy}\left( x^3y^2 -x\right) dy= 0\) (18)

\(\left( xy^2 + \frac{1}{x}\right)dx + \left ( x^2y - \frac{1}{y} \right) dy = 0\) (19)

\(\overline{M}_{y}= 2xy = \overline {N}_{x}= 2xy\)

Proszę znaleźć całkę ogólną równania zupełnego (19).

ODPOWIEDZ