Matematyka.pl

\(\displaystyle{ F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\bigg(\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n}-\bigg(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n}\bigg)}\)
Dla\(\displaystyle{ n=0}\) mamy \(\displaystyle{ F_{0}=\frac{1}{\sqrt{5}}\bigg(1-1\bigg)=0.}\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ F_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\bigg)=1.}\)
Zakładamy, że wzór Bineta jest prawdziwy dla ustalonego \(\displaystyle{ n \ge 1.}\)
Wykażemy, że \(\displaystyle{ F_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\bigg(\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n+1}-\bigg(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n+1}\bigg)}\)
W tym miejscu mam problem. Jak dalej udowodnić przez indukcję ten wzór?
Z góry dziękuję za pomoc

Zakładasz że skoro \(\displaystyle{ F_n}\) i \(\displaystyle{ F_{n+1}}\) jest zgodne ze znanymi wartościami, to \(\displaystyle{ F_{n+2}=F_n+F_{n+1}}\)

kerajs pisze:Zakładasz że skoro \(\displaystyle{ F_n}\) i \(\displaystyle{ F_{n+1}}\) jest zgodne ze znanymi wartościami, to \(\displaystyle{ F_{n+2}=F_n+F_{n+1}}\)

Czyli przed założeniem indukcyjnym policzyć jeszcze dla \(\displaystyle{ n=2}\) i pokazać, że \(\displaystyle{ F_{n+2}=F_n+F_{n+1}}\)?

Czyli przed założeniem indukcyjnym policzyć jeszcze dla \(\displaystyle{ n=2}\)

Nie ma takiej potrzeby.

i pokazać, że \(\displaystyle{ F_{n+2}=F_n+F_{n+1}}\)?

Co przez to rozumiesz? Jak w ogóle masz zdefiniowane \(\displaystyle{ F_n}\)? Ja bym się spodziewał, że znasz rekurencję \(\displaystyle{ F_0=0, \ F_1=1, \ F_{n+1}=F_n+F_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\) i z tego masz wywnioskować, że zachodzi równość
\(\displaystyle{ F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\bigg(\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n}-\bigg(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n}\bigg)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN}\).
Czyli w kroku indukcyjnym po prostu rozpisujesz \(\displaystyle{ F_{n+2}}\) w zależności od \(\displaystyle{ F_{n+1}}\) i \(\displaystyle{ F_n}\) korzystając z tej rekurencji i z założenia indukcyjnego, które jest takie, że
dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) masz \(\displaystyle{ F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\bigg(\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n}-\bigg(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n}\bigg), \ F_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\bigg(\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n+1}-\bigg(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n+1}\bigg)}\)

Używasz tutaj takiego schematu indukcji:
prawdziwość \(\displaystyle{ T(0)}\) i \(\displaystyle{ T(1)}\) oraz prawdziwość implikacji
\(\displaystyle{ (T(n)\wedge T(n+1)) \Rightarrow T(n+2)}\)
dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) pociąga prawdziwość \(\displaystyle{ T(n)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN}\),
gdzie \(\displaystyle{ T(n): \ F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\bigg(\bigg(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n}-\bigg(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\bigg)^{n}\bigg)}\)

Dożo łatwiej przeprowadzić ten dowód pamiętając, że \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^2-x-1=0}\).

JK