Matematyka.pl

Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n > 0}\) liczba \(\displaystyle{ 11^{n}-3 ^{n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\)

Stosując rozumowanie indukcyjne ze względu na \(\displaystyle{ n}\) . Można zauważyć, że

\(\displaystyle{ 11 \cdot 11 ^{n} - 3 \cdot 3 ^{n} = 11 \cdot 11 ^{n} - 11 \cdot 3 ^{n} +8 \cdot 3 ^{n}}\)

Dowód ze względu na \(\displaystyle{ n}\) . Dla\(\displaystyle{ n=1}\) mamy:

\(\displaystyle{ 11 ^{1}-3 ^{1}= 8}\)

Co jest podzielne przez 8.
Z kolei dla \(\displaystyle{ n>1}\) mamy następujący ciąg równości

\(\displaystyle{ 11 ^{n} - 3 ^{n}=11 \cdot 11 ^{n-1} - 3 \cdot 3 ^{n-1}
= 11 \cdot 11 ^{n-1} - 11 \cdot 3 ^{n-1} + 8 \cdot 3 ^{n-1}
= 11 \cdot (11 ^{n-1} - 3 ^{n-1} )+ 8 \cdot 3 ^{n-1}}\)


Z założenia indukcyjnego wynika, że \(\displaystyle{ 11 ^{n-1} - 3 ^{n-1}}\) jets pdzielne prze 8. W konsekwencji mamy, że \(\displaystyle{ 11 \cdot (11 ^{n-1} - 3 ^{n-1} )}\) jak i \(\displaystyle{ 8 \cdot 3 ^{n-1}}\) jest podzielne prze 8, tak więc i suma \(\displaystyle{ 11 \cdot (11 ^{n-1} - 3 ^{n-1} )+ 8 \cdot 3 ^{n-1}=11 ^{n} - 3 ^{n}}\) jest podzielna przez 8

Pytanie brzmi: skoro to dowód indukcyjny dlaczego nie ma \(\displaystyle{ k+1}\) a zastosowano \(\displaystyle{ k-1}\). Proszę o wyrozumiałość moja dociekliwość powoduje, że zastanawiam się nad tym problemem zbyt długo i czas poprosić kogoś o pomoc.

To rozumowanie jest dziwne, dość niezrozumiałe. Ja sprawdził bym \(\displaystyle{ n=1}\) co jest trywialne potem założył że \(\displaystyle{ 11^n-3^n=8k}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ n,k\in\NN}\) oraz sprawdził tezę \(\displaystyle{ T(n+1)}\) i jak się ona ma przy założeniu \(\displaystyle{ T(n)}\):

\(\displaystyle{ 11^{n+1}-3^{n+1}=11 \cdot 11^n-3 \cdot 3^{n}=8 \cdot 11^n+3 \cdot 11^n-3 \cdot 3^n+=8 \cdot 11^n+3 \cdot 8k}\)

Co kończy dowód jako że \(\displaystyle{ 8 \cdot 11^n+3 \cdot 8k}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\).

A poza tym indukcja w tym zadaniu nie jest konieczna, można zastosować wzór na różnice n-tych potęg

\(\displaystyle{ 11^n-3^n=(11-3)(11^{n-1} \cdot 3+11^{n-2} \cdot 3^2+...)}\)

co również kończy dowód.

Można też zrobić to jeszcze inaczej. Zauważmy że jeśli \(\displaystyle{ 11^n \equiv 3\bmod8}\) to \(\displaystyle{ 3^n \equiv 3\bmod8}\) a jeśli (co jest drugim i ostatnim przypadkiem) \(\displaystyle{ 11^n \equiv 1\bmod8}\) to \(\displaystyle{ 3^n \equiv 1\bmod8}\) więc w każdym przypadku \(\displaystyle{ 11^n-3^n \equiv 0 \bmod8}\)