Wyprowadzenia Podstawienia Trygonometycznego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
ArkhamKnight
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 maja 2018, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze

Wyprowadzenia Podstawienia Trygonometycznego

Post autor: ArkhamKnight » 11 maja 2018, o 18:30

Witam
Zwracam się z uprzejmą prośbą o wyprowadzenie poniższego podstawienia trygonometrycznego (\(\displaystyle{ \cos x}\) do potęgi nieparzystej).

Do obliczania całki \(\displaystyle{ \int \sin x\cos x\mbox{d}x}\) , gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych stosujemy, w zależności od warunków jakie spełnia funkcja \(\displaystyle{ R}\), następujące podstawienia. Oznaczmy \(\displaystyle{ u=\sin x,v=\cos x}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ R(u,v)=-R(u,-v)}\) (tzn. funkcja \(\displaystyle{ \cos x}\) jest w potędze nieparzystej), to
\(\displaystyle{ t= \sin x \\ \mbox{d}x =\frac{dt}{ \sqrt{1- t^{2} } } \\ \cos x= \sqrt{1-t ^{2}}}\)

Z góry dziękuje za pomoc.
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 11 maja 2018, o 19:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24940
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Wyprowadzenia Podstawienia Trygonometycznego

Post autor: Jan Kraszewski » 11 maja 2018, o 19:52

ArkhamKnight pisze:Zwracam się z uprzejmą prośbą o wyprowadzenie poniższego podstawienia trygonometrycznego ( \(\displaystyle{ \cos x}\) do potęgi nieparzystej).

Do obliczania całki \(\displaystyle{ \int \sin x\cos x\mbox{d}x}\) , gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych stosujemy,
Ale gdzie Ty tu masz jakąś funkcję wymierną i potęgę nieparzystą?

JK

ArkhamKnight
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 maja 2018, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze

Wyprowadzenia Podstawienia Trygonometycznego

Post autor: ArkhamKnight » 11 maja 2018, o 20:04

Źle mnie zrozumiałeś chodzi mi o ogólne wyprowadzenie tego twierdzenia w celu zastosowania go w danych przykładach np \(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos x ^{3} \sqrt{\sin x} \mbox{d}x}\).
Ostatnio zmieniony 11 maja 2018, o 21:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24940
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Wyprowadzenia Podstawienia Trygonometycznego

Post autor: Jan Kraszewski » 11 maja 2018, o 20:10

ArkhamKnight pisze:Źle mnie zrozumiałeś
To Ty źle sformułowałeś. Trzeba było napisać o całce

\(\displaystyle{ \int R(\sin x,\cos^n x)\mbox{d}x}\)

gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste.
ArkhamKnight pisze: np \(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos x ^{3} \sqrt{\sin x} \mbox{d}x}\).
Chyba raczej

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos ^{3}x \sqrt{\sin x} \mbox{d}x}\).

No i tutaj masz pierwiastek, więc to nie jest funkcja wymierna.

JK

ArkhamKnight
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 maja 2018, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze

Wyprowadzenia Podstawienia Trygonometycznego

Post autor: ArkhamKnight » 11 maja 2018, o 20:18

No dobrze masz racje, czyli podstawienie akurat w tym danym przykładzie jest błędem?
Ostatnio zmieniony 11 maja 2018, o 21:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ