Matematyka.pl

a) Przez jaka liczbę należy podzielić liczby \(\displaystyle{ 331}\) i \(\displaystyle{ 459}\), aby w obu przypadkach otrzymać resztę z dzielenia równą \(\displaystyle{ 11}\)?
b) Przez jaką liczbę należy podzielić liczby \(\displaystyle{ 589}\) i \(\displaystyle{ 667}\), aby otrzymać reszty z dzielenia równo odpowiednio \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 7}\)?

Skoro \(\displaystyle{ 331 \equiv 11 \pmod{n}}\), to \(\displaystyle{ 320 \equiv 0 \pmod{n}}\), analogicznie \(\displaystyle{ 448 \equiv 0 \pmod{n}}\). Stąd, szukanymi liczbami mogą być \(\displaystyle{ NWD(320, 448)=64}\) oraz jej niektóre dzielniki (a dokładnie, to są wszystkie te, które są większe od \(\displaystyle{ 11}\), bo np. z dzielenia przez \(\displaystyle{ 8}\) reszty \(\displaystyle{ 11}\) nie można otrzymać). Jedynie \(\displaystyle{ n=16, 32, 64}\) dają resztę \(\displaystyle{ 11}\) .
Podpunkt b) spróbuj zrobić sam.