Matematyka.pl

Wiedząc,że równanie \(\displaystyle{ x^{2}+px+q=0}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, podaj rozwiązania równania \(\displaystyle{ x ^{2}+3px+9q=0}\).

Trójmian ma jedno rozwiązanie gdy
\(\displaystyle{ p^2-4q=0}\)
Wstaw \(\displaystyle{ q= \frac{p^2}{4}}\) do drugiego trójmianu i spróbuj policzyć wyróżnik oraz jego pierwiastki.

Rozumiem, że chodzi o rozwiązania w liczbach rzeczywistych.
Wyróżnik trójmianu \(\displaystyle{ x^{2}+px+q}\) się zeruje, czyli \(\displaystyle{ p^2-4q=0}\).

Mamy
\(\displaystyle{ x ^{2}+3px+9q=\left( x+\frac 3 2p\right)^2-\frac 9 4 p^2+9q=\\=\left( x+\frac 3 2 p\right)^2- \frac{9}{4}(p^2-4q)=\left( x+\frac 3 2 p\right)^2}\),
więc wówczas
\(\displaystyle{ x ^{2}+3px+9q=0 \Leftrightarrow x=-\frac 3 2 p}\)