żS-2, od: luka52, zadanie 1

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-2, od: luka52, zadanie 1

Post autor: Liga » 1 paź 2007, o 12:54

luka52 pisze:Zauważmy, że \(\displaystyle{ t>0}\), gdyż:
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\sin^2 x} > \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| \geqslant - \sin x \Rightarrow \sin x + \sqrt{1+\sin^2 x} > 0}\)
dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
Wyliczając z podstawienie sin x:
\(\displaystyle{ t - \sin x = \sqrt{1 + \sin^2 x}\\
t^2 - 2 t \sin x + \sin^2 x = 1 + \sin^2 x\\
t^2 - 1 = 2t \sin x\\
\sin x = \frac{t^2 - 1}{2t}}\)

podstawiamy wyliczoną wartość do danego wyrażenia na w:
\(\displaystyle{ w = \frac{\frac{t^2 - 1}{2t}}{\cos^2 x \sqrt{1 + \left( \frac{t^2 - 1}{2t} \right)^2 }}\\
w = \frac{t^2 - 1}{\cos^2 x (t^2 + 1)} \quad (*)}\)

(przy upraszczaniu do powyższej postaci należało skorzystać z faktu iż t>0)
Z jedynki trygonometrycznej wyliczamy cos�x:
\(\displaystyle{ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - ft( \frac{t^2 - 1}{2t} \right)^2}\)
Co po podstawieniu do r.(*) daje po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ w = \frac{4t^2 (1 - t^2 )}{t^6 - 5t^4 - 5t^2 + 1}}\)
Ostatnio zmieniony 8 paź 2007, o 19:57 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-2, od: luka52, zadanie 1

Post autor: scyth » 1 paź 2007, o 12:59

Ja bym już zostawił w postaci:
\(\displaystyle{ w(t)=\frac{4t^2(1-t)(1+t)}{(t^4-6t^2+1)(t^2+1)}}\)
no ale na jedno wychodzi skoro już nic się nie uprości. Wszystkie kroki i założenia poprawne.
4/4

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6923
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2617 razy
Pomógł: 687 razy

żS-2, od: luka52, zadanie 1

Post autor: mol_ksiazkowy » 4 paź 2007, o 13:54

ok 4 pkt

ODPOWIEDZ