żS-1, od: paskuda, zadanie 3

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-1, od: paskuda, zadanie 3

Post autor: Liga » 1 paź 2007, o 07:03

[quote="paskuda"]Taka prosta istnieje i nazywana jest prostą Eulera.

DOWÓD:
H-punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC
O-środek koła opisanego na trójkącie ABC
S - środek ciężkości trójkąta ABC

A', B' i H' są obrazami odpowiednio punktów A,B,H w jednokładności o skali \(\displaystyle{ k=\frac{1}{2}}\) i środku w punkcie C.

Wtedy 2A'H'=AH.

Czworokąt A'OB'H' jest równoległobokiem (widać to z rysunku), więc OB' = A'H'.

Zatem 2OB'=AH.

Środek ciężkości S dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc AS=2B'S .

OB' || AH, więc kąty OB'S i HAS są sobie równe (kąty naprzemianległe).

Zatem ΔB'OS, jest obrazem ΔAHS w jednokładności o środku w S i skali k .

Stąd otrzymujemy, że punkty S,O,H leżą na jednej prostej.

c.n.d.
imagic .pl/files /view /5380 / Obraz%20001 .jpg[/quote]
Ostatnio zmieniony 6 paź 2007, o 23:22 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-1, od: paskuda, zadanie 3

Post autor: scyth » 1 paź 2007, o 07:08

Zadanie przyszło 3 minuty przed północą. Trzeba je uwazględnić w punktacji, szczególnie, że jest prawidłowo rozwiązane. 5/5

ODPOWIEDZ