Seria 2 (01.10.07r.-07.10.07r.)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

Seria 2 (01.10.07r.-07.10.07r.)

Post autor: bolo » 30 wrz 2007, o 23:50

  1. Dane jest wyrażenie
    \(\displaystyle{ w=\frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}\sqrt{1+\sin^{2}{x}}}.}\)

    Stosując podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin{x}+\sqrt{1+\sin^{2}{x}},}\) przedstawić je jako funkcję zmiennej \(\displaystyle{ t}\), tj. \(\displaystyle{ w=f(t).}\)
    Rozwiązanie
    Mamy tu
    \(\displaystyle{ t-\sin x=\sqrt{1+\sin^{2}x},}\)
    tak więc:
    \(\displaystyle{ \sin x=\frac{t^{2}-1}{2t} \\ \sqrt{1+\sin^{2}x}=\frac{t^{2}+1}{2t} \\ \cos^{2}x=\frac{-t^{4}+6t^{2}-1}{4t^{2}}.}\)
    Wynik:
    \(\displaystyle{ w=\frac{4t^{2}(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)(-t^{4}+6t^{2}-1)}.}\)
  2. Dla jakiej liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\), wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{13}+x+90}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ V(x)=x^{2}-x+a}\)?

    Rozwiązanie
    Załóżmy, że istnieje wielomian
    \(\displaystyle{ R(x)=\sum_{k=0}^{11}a_{j}x^{j},}\)
    tj. że
    \(\displaystyle{ W(x)=V(x)R(x).}\)
    Liczby \(\displaystyle{ a_{j}}\) dla \(\displaystyle{ j=0,1,\ldots,11}\) muszą być całkowite. Można się o tym przekonać, wykonując dość długie dzielenie i wyrazić \(\displaystyle{ a_{j}}\) w zależności od \(\displaystyle{ a.}\)
    Inny sposób: Łatwo stwierdzić, że \(\displaystyle{ a_{11}=a_{10}=1,}\) i jeśli \(\displaystyle{ j\leqslant 9}\) jest największym indeksem, tj. że \(\displaystyle{ a_{j}}\) nie jest całkowite, to uzyskamy, iż współczynnik \(\displaystyle{ a_{j+2}}\) także nie jest całkowity - sprzeczność.

    Tak więc, jeśli \(\displaystyle{ u}\) jest liczbą całkowitą, to \(\displaystyle{ R(u)}\) także. Skoro \(\displaystyle{ a\neq 0,}\) to mamy, że całkowite są liczby: \(\displaystyle{ \tfrac{W(0)}{V(0)}=\tfrac{90}{a}}\) i \(\displaystyle{ \tfrac{W(1)}{V(1)}=\tfrac{92}{a}.}\) Stąd wynika, że \(\displaystyle{ a\in\{-1,1,-2,2\}.}\) Widać, że \(\displaystyle{ a\neq -2.}\) Ale liczby \(\displaystyle{ \tfrac{W(-1)}{V(-1)}=\tfrac{88}{a+2}}\) i \(\displaystyle{ \tfrac{W(-2)}{V(-2)}=\tfrac{-8104}{a+6}}\) też są całkowitymi, stąd wniosek, że \(\displaystyle{ a\neq 1\, a\neq -1.}\)

    Więc \(\displaystyle{ a=2.}\) I faktycznie:
    \(\displaystyle{ \frac{x^{13}+x+90}{x^2-x+2}=x^{11}+x^{10}-x^{9}-3x^{8}-x^{7}+5x^{6}+7x^{5}-3x^{4}-17x^{3}-11x^{2}+23x+45.}\)
    1. rozwiąż nierówność:
      \(\displaystyle{ \log_{\frac{2}{3}}\left({4^{x^{2}+4x}+2^{x^{2}+4x-1}-\frac{1}{2}}\right)>0,}\)
    2. rozwiąż równanie:
      \(\displaystyle{ log_{x}4+log_{2}x^2=5.}\)
    Rozwiązanie
    1. Najpierw robimy stosowne założenia.
      Żądamy równoważnie, aby:
      \(\displaystyle{ 0}\)
      Podstawiając \(\displaystyle{ y=2^{x^{2}+4x},}\) mamy: \(\displaystyle{ 0}\) czyli \(\displaystyle{ y\in\left(-\tfrac{3}{2},-1\right)\cup\left(\tfrac{1}{2},1\right).}\)

      Ale \(\displaystyle{ y>0,}\) więc \(\displaystyle{ \tfrac{1}{2}}\)

      "Wracając do iksa": \(\displaystyle{ 2^{-1}}\) tj. \(\displaystyle{ -1}\)

      Wynik: \(\displaystyle{ x\in\left(-4;-2-\sqrt{3}\right)\cup\left(-2+\sqrt{3};0\right).}\)
    2. Czynimy założenie \(\displaystyle{ x>0, \ x\neq 1.}\) Postać równoważna: \(\displaystyle{ 2log_{x}{2}+2log_{2}{x}=5.}\) Niech \(\displaystyle{ log_{2}{x}=t,}\) tj. \(\displaystyle{ \tfrac{2}{t}+2t=5,}\) co prowadzi do równania kwadratowego \(\displaystyle{ 2t^{2}-5t+2=0.}\) Ma ono pierwiastki: \(\displaystyle{ t_{1}=2, \ t_{2}=\tfrac{1}{2}.}\) Tak więc \(\displaystyle{ x=4}\) lub \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}.}\)
  3. Znajdź zbiór środków cięciw okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=25}\) przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ A(3,0)}\).

    Rozwiązanie
    Równanie prostych o wspólnym punkcie \(\displaystyle{ A(3,0)}\) ma postać \(\displaystyle{ y=m(x-3).}\) Punkty \(\displaystyle{ K_{i}(x_{1},y_{1}), \ L_{i}(x_{2},y_{2})}\) przecięcia cięciwy - zawartej w tej prostej - z okręgiem wyznaczy układ:
    \(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+y^2=25 \\ y=m(x-3),\end{cases}}\)
    który prowadzi do równania kwadratowego, mającego dwa pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, \ x_{2}}\), gdyż \(\displaystyle{ \Delta>0:}\)
    \(\displaystyle{ (m^{2}+1)x^{2}-6m^{2}x+9m^{2}-25=0.}\)
    Aby wyznaczyć współrzędne środków cięciw, posłużymy się wzorami Viete'a: odcięta \(\displaystyle{ x_{0}=\tfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=\tfrac{3m^{2}}{m^{2}+1},}\) więc \(\displaystyle{ y_{0}=-\tfrac{3m}{m^{2}+1}.}\) Zaś by znaleźć równanie poszukiwanej krzywej, rugujemy parametr \(\displaystyle{ m}\) z ostatnich równań określających \(\displaystyle{ x_{0}, \ y_{0}}\) przy założeniu \(\displaystyle{ 0\leqslant x_{0}}\) Mamy, że: \(\displaystyle{ m^{2}=\tfrac{x_{0}}{3-x_{0}},}\) tj. \(\displaystyle{ m=\mp\sqrt{\tfrac{x_{0}}{3-x_{0}}},}\) co po wstawieniu do drugiego, daje nam wzór \(\displaystyle{ y_{0}=\mp\sqrt{x_{0}(3-x_{0})},}\) który podnosimy do kwadratu i grupujemy:
    \(\displaystyle{ \left(x_{0}-\frac{3}{2}\right)^2+y_{0}^{2}=\frac{9}{4}.}\)
    Krzywą, będącą zbiorem wszystkich środków cięciw okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=25,}\) zawierających punkt \(\displaystyle{ A(3,0),}\) jest więc okrąg o środku \(\displaystyle{ S\left(\tfrac{3}{2},0\right)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=\tfrac{3}{2},}\) a więc styczny do osi \(\displaystyle{ OY}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0).}\)

    Zob. rys.:
    Uwaga: Jest jedna tylko cięciwa, czyli ta zawarta w prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ OX,}\) tj. mająca równanie \(\displaystyle{ x=3,}\) której "nie łapie" równanie \(\displaystyle{ y=m(x-3),}\) ale jej środkiem jest punkt \(\displaystyle{ A,}\) też leżący na wyznaczonym przez nas okręgu.
Rozwiązania niebawem, ponownie zapytam o punktację (?). Też po 5?
Ostatnio zmieniony 8 paź 2007, o 00:31 przez bolo, łącznie zmieniany 3 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Seria 2 (01.10.07r.-07.10.07r.)

Post autor: scyth » 1 paź 2007, o 07:15

1,2 i 4 mogą być za 5. A co z trzecim? a za 2 a b za 3 czy odwrotnie?

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

Seria 2 (01.10.07r.-07.10.07r.)

Post autor: bolo » 1 paź 2007, o 11:50

Ja proponuję: 4, 5, 6, 5.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6486
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Seria 2 (01.10.07r.-07.10.07r.)

Post autor: mol_ksiazkowy » 1 paź 2007, o 12:21

no... może być,

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6486
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Seria 2 (01.10.07r.-07.10.07r.)

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 paź 2007, o 19:36

Po namyle, zad drugie zasługuje na 6 pkt...! ok?

ODPOWIEDZ