Matematyka.pl

Dla jakich k, należących zbioru liczb całkowitych, \(\displaystyle{ \frac{k+11}{k ^{2}+k+2 }}\) jest liczbą całkowitą?

Zauważ, że gdy \(\displaystyle{ k>3}\), to
to \(\displaystyle{ \left|\frac{k+11}{k ^{2}+k+2 }\right|=\frac{k+11}{k ^{2}+k+2 }<1}\), podobnie gdy \(\displaystyle{ k<-11}\), tylko wtedy mamy \(\displaystyle{ \left|\frac{k+11}{k ^{2}+k+2 }\right|=-\frac{k+11}{k ^{2}+k+2 }}\) (po pomnożeniu przez dodatni mianownik są to łatwe nierówności kwadratowe).
Rzucają się w oczy rozwiązania \(\displaystyle{ -11}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\).
Zostaje zaledwie trzynaście możliwości do rozważenia:
\(\displaystyle{ k\in \left\{ -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4,-3,-2,-1, 0,1,2 \right\}}\)
i zauważmy, że \(\displaystyle{ k^2+k+2=k(k+1)+2}\) jest liczbą parzystą dla każdego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego, więc żeby \(\displaystyle{ k^2+k+2}\) dzieliło \(\displaystyle{ k+11}\), w szczególności \(\displaystyle{ 2}\) musi dzielić \(\displaystyle{ k+11}\), czyli \(\displaystyle{ k}\) musi być nieparzyste.
To (poza sprawdzonymi rozwiązaniami \(\displaystyle{ -11}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\)) pozostawia już tylko takie przypadki:
\(\displaystyle{ k\in \left\{ -9, -7, -5, -3,-1, 1 \right\}}\)
Zostało tylko sześć liczb do sprawdzenia, to nie opłaca się kombinować, wystarczy podstawić po kolei.