[Planimetria] Srednica okręgu, dowolny punkt, połowienie odcinka

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 4 razy

[Planimetria] Srednica okręgu, dowolny punkt, połowienie odcinka

Post autor: MarcinT » 30 wrz 2007, o 22:38

Niech \(\displaystyle{ AB}\) będzie średnicą okręgu \(\displaystyle{ w}\). Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie dowolnym punktem okręgu \(\displaystyle{ w}\) (różnym od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)). Ponadto niech prosta prostopadła do \(\displaystyle{ AB}\) przechodząca przez \(\displaystyle{ P}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie D. Okrąg o środku w \(\displaystyle{ P}\) i promieniu \(\displaystyle{ PD}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ w}\) w punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\). Udowodnić, że odcinek \(\displaystyle{ EF}\) połowi odcinek \(\displaystyle{ PD}\).
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

[Planimetria] Srednica okręgu, dowolny punkt, połowienie odcinka

Post autor: jarekp » 20 paź 2007, o 10:42

niech \(\displaystyle{ S}\) będzie obrazem punktu \(\displaystyle{ P}\) w symetrii względem punktu \(\displaystyle{ D}\). wtedy \(\displaystyle{ S}\) należy do okręgu ω , \(\displaystyle{ |PD|=|DS|}\) i punkty \(\displaystyle{ P, D, S}\) są współliniowe.

oznaczmy przez \(\displaystyle{ R}\) punkt przecięcia odcinków \(\displaystyle{ PD}\) i \(\displaystyle{ EF}\)

punkty \(\displaystyle{ E, D, F}\) należą do okręgu o środku \(\displaystyle{ P}\) więc \(\displaystyle{ |PD|=|PE|=|PF|}\) (*)

z twierdzenia Ptolomeusza dla czworokąta EPFS mamy
\(\displaystyle{ PS*EF=PE*FS+PF*ES \iff 2PD*EF=PE*FS+PF*ES \iff na.mocy(*) \iff 2EF=FS+ES}\) (1)

trójkąty \(\displaystyle{ PRF}\) i \(\displaystyle{ EDS}\) są podobne zatem \(\displaystyle{ \frac{ES}{PF}=\frac{ER}{PR}}\) (2)

z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ PRE}\) i \(\displaystyle{ FDS}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{FS}{PE}=\frac{FR}{PR}}\) (3)

dodając stronami (2) i (3) otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{FS}{PE}+\frac{ES}{PF}=\frac{FR}{PR}+\frac{ER}{PR} \iff na.mocy(*) \iff
\frac{FS+ES}{PD}=\frac{FR+ER}{PR} \iff \frac{FS+ES}{PD}=\frac{EF}{PR}}\)


wykorzystując (1) mamy

\(\displaystyle{ \frac{2EF}{PD}=\frac{EF}{PR} \iff 2PR=PD}\) (**)

dodatkowo mamy \(\displaystyle{ PR+RD=PD}\)
z tego i z (**) wynika że\(\displaystyle{ RD=PR}\) c.n.u


MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 4 razy

[Planimetria] Srednica okręgu, dowolny punkt, połowienie odcinka

Post autor: MarcinT » 20 paź 2007, o 13:43

Gratuluje ) można też zauważyć, że \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ESF, i wykorzystując zależność\(\displaystyle{ \frac{DS}{DR}=\frac{ES+FS}{EF}}\) dostać tezę w połączeniu z Twoim równaniem (1) (ten stosunek jest prawdziwy dla każdego trójkąta i środka okręgu wpisanego weń - udowodnić można najkrócej masami)

ODPOWIEDZ