Matematyka.pl

Rozwiąż równanie lub wykaż, że rozwiązanie nie istnieje.
a) \(\displaystyle{ 3x=4\pmod{7}}\)
b) \(\displaystyle{ 9x=12\pmod{21}}\)
c) \(\displaystyle{ 9x=25\pmod{256}}\)

a) Pomnóż stronami przez \(\displaystyle{ 5}\) i zredukuj wielokrotności \(\displaystyle{ 7}\).
b) To jest to samo, co \(\displaystyle{ 3x\equiv 4\pmod{7}}\).
c) Pomnóż stronami przez \(\displaystyle{ 57}\) i zredukuj wielokrotności \(\displaystyle{ 256}\).-- 6 maja 2018, o 11:51 --Ogólnie, gdy mamy \(\displaystyle{ ax\equiv b\pmod{c}, \ a\neq 0}\), to możesz sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \NWD(a,c)=1}\), a jeśli tak, to z rozszerzonego algorytmu Euklidesa znajdujesz \(\displaystyle{ a^{-1}\pmod{c}}\), mnożysz przez to, ew. redukujesz po prawej wielokrotności \(\displaystyle{ c}\) i po sprawie, a jeśli \(\displaystyle{ \NWD(a,c)>1}\), to trzeba kombinować. Można sobie wtedy rozpisać
\(\displaystyle{ ax=c k+b, \ k \in \ZZ}\) i najpierw popatrzeć, czy nie ma jakiejś ewidentnej sprzeczności(typu \(\displaystyle{ \NWD(a,c)\nmid b}\)), a jak nie ma to podzielić stronami przez \(\displaystyle{ \NWD(a,c)}\) i dalej wracamy do rozszerzonego algorytmu Euklidesa.