Równanie ograniczone przez t

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Marcin531
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 1 mar 2016, o 20:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie ograniczone przez t

Post autor: Marcin531 » 6 maja 2018, o 12:08

Witam, prosiłbym o wytłumaczenie zadań:

Znaleźć rozwiązanie równania \(\displaystyle{ y'\sin t + y \cos t=1}\), ograniczone przy \(\displaystyle{ t \rightarrow 0}\)

Znaleźć funkcje \(\displaystyle{ y:\RR \rightarrow \RR}\) spełniające równania całkowe
a)
\(\displaystyle{ y(t)= \int_{1}^{t} e ^{-y(s)} ds}\)
b)
\(\displaystyle{ y(t)=-1+ \int_{1}^{t} \frac{e ^{y(s)} }{y(s)} ds}\)

W pierwszym wyliczyłem równanie metodą uzmiennianie stałej, w wyniku czego otrzymałem:
\(\displaystyle{ y= \frac{t+c}{\sin t}}\) jednak nie wiem co dalej zrobić z tym ograniczeniem

Z kolei za drugie nie mam pojęcia jak się zabrać.

Z góry dziękuję za pomoc i poświęcony czas
Ostatnio zmieniony 6 maja 2018, o 12:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Równanie ograniczone przez t

Post autor: a4karo » 6 maja 2018, o 12:29

Pomyśl dla jakiej wartości \(\displaystyle{ c}\) rozwiązanie jest ograniczone koło zera,

Np. Dla \(\displaystyle{ c=1}\) masz \(\displaystyle{ \lim_{t\to0^+} y(t) =?}\)

Marcin531
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 1 mar 2016, o 20:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie ograniczone przez t

Post autor: Marcin531 » 6 maja 2018, o 15:49

dla \(\displaystyle{ c=0}\)? bo dla jedynki funkcja dąży do nieskończoności

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Równanie ograniczone przez t

Post autor: a4karo » 6 maja 2018, o 15:57

Po prostu sprawdź jakie są te granice dla różnych \(\displaystyle{ c}\).

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Równanie ograniczone przez t

Post autor: bartek118 » 6 maja 2018, o 16:16

Marcin531 pisze: Z kolei za drugie nie mam pojęcia jak się zabrać.
Zróżniczkuj obustronnie i dostaniesz równanie różniczkowe do rozwiązania. Warunek początkowy policzysz podstawiając \(\displaystyle{ t=1}\).

ODPOWIEDZ