Matematyka.pl

Mam trudności z rozwinięciem takiej funkcji \(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{x}{x ^{2}-5x+6 }}\) w szereg o środku \(\displaystyle{ x_{0}=0}\). W poleceniu mam wskazówkę, żeby rozłożyć na początku funkcję na ułamki proste.
Robię to w skrócie tak:
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{x}{x ^{2}-5x+6 } = \frac{3}{x-3}- \frac{2}{x-2} = - \frac{1}{1- \frac{x-1}{3} } + \frac{1}{1- \frac{x-1}{2} } = \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{x-1}{3} \right) ^{n} + \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{x-1}{2} \right) ^{n} = \sum_{n=0}^{ \infty }3\left(-1 \right) ^{n}\left(x-1 \right) ^{n} + \sum_{n=0}^{ \infty }2\left(-1 \right) ^{n}\left(x-1 \right) ^{n}}\)
Podpowiecie czy w dobrym kierunku zmierzam i co z tym dalej zrobić?

To nie jest najlepszy kierunek bo rozwinięcie nie jest w punkcie \(\displaystyle{ x_0=0}\). Lepiej zapisz to tak:

\(\displaystyle{ f(x)= -\frac{1}{ 1-\frac{x}{3} }+\frac{1}{ 1-\frac{x}{2} }}\)

Wtedy będzie można wygodnie zauważyć że:

\(\displaystyle{ f(x)= -\sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{x}{3} \right)^n +\sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{x}{2} \right)^n=\sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n} \right) x^n}\)

Masz rację, prościej liczy się Twoim sposobem.
Zastanawiam się teraz czy da się dojść z tym, co mamy do postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\left( 2 \cdot \left( -1\right) ^{n} - 3 \cdot 2 ^{-n-1}\right) \cdot x ^{n}}\), bo do takiej mam (teoretycznie) sprowadzić, ale jakoś tego nie widzę..

Raczej się nie da, bo

\(\displaystyle{ 2 \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }\left(-x\right) ^{n}= \frac{2}{1+x}}\)

oraz

\(\displaystyle{ - \frac{3}{2} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \frac{x}{2} \right)^n=- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}}}\)

Więc musiało by zachodzić że \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2}{1+x}- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}}}\) a tak nie jest o ile się w rachunkach nie mylę.

Dziękuję za rozpisanie wszystkiego po kolei