Matematyka.pl

Ile jest liczb dziesięciocyfrowych, w zapisie których występuje sześć różnych cyfr spośród 1,2,3,4,5,6,7,8,9?
Ja wymyśliłam że
\(\displaystyle{ C_{9}^{6} \cdot C_{6}^{10} \cdot 6^4}\)
czyli wybieramy 6 cyfr, wybieramy dla nich miejsca w tworzonej liczbie, zostają 4 wolne miejsca, to z tych 6 cyfr wybranych tworzymy ciągi po 4 cyfry które się mogą powtarzać.

Zapomniałaś o zerach
A ponadto niektóre liczby policzysz wiele razy np 1234561111

Ale nie ma zera dostępnego. Wybieram z 9 cyfr bez zera.

Chyba właśnie o to chodzi, żeby niektóre policzyć wiele razy.
Skoro liczba ma być 10-cyfrowa, utworzona z 6-ciu cyfr?

Może tak:
1. Liczba zawiera cyfry: \(\displaystyle{ a,a,a,a,a,b,c,d,e,f}\)
Ilość takich liczb: \(\displaystyle{ {9 \choose 6} {6 \choose 1} \frac{10!}{5!}}\)

2. Liczba zawiera cyfry: \(\displaystyle{ a,a,a,a,b,b,c,d,e,f}\)
Ilość takich liczb: \(\displaystyle{ {9 \choose 6} {6 \choose 1} {5 \choose 1} \frac{10!}{4!2!}}\)

3. Liczba zawiera cyfry: \(\displaystyle{ a,a,a,b,b,b,c,d,e,f}\)
Ilość takich liczb: \(\displaystyle{ {9 \choose 6} {6 \choose 2} \frac{10!}{3!3!}}\)

4. Liczba zawiera cyfry: \(\displaystyle{ a,a,a,b,b,c,c,d,e,f}\)
Ilość takich liczb: \(\displaystyle{ {9 \choose 6} {6 \choose 1} {5 \choose 2} \frac{10!}{3!2!2!}}\)

5. Liczba zawiera cyfry: \(\displaystyle{ a,a,b,b,c,c,d,d,e,f}\)
Ilość takich liczb: \(\displaystyle{ {9 \choose 6} {6 \choose 4} \frac{10!}{2!2!2!2!}}\)

Edit
Dodałem \(\displaystyle{ }\)

Ile jest liczb dziesięciocyfrowych, w zapisie których występuje sześć różnych cyfr spośród 1,2,3,4,5,6,7,8,9?

W zapisie liczby 1234560000 występuje sześć różnych cyfr spośród 123456789, więc spełnia ona warunki zadania.

Gdyby chodziło o liczby składające się WYŁĄCZNIE z sześciu cyfr, to powinno być sformułowane np. tak: Wyznaczyć ilość liczb dziesięciocyfrowych, które zapisuje się w systemie dziesiętnym przy użyciu 6 cyfr spośród 123456789.



W Twoim rozumowaniu błąd jest taki:

Jeżeli sobie ustalisz miejsca 1-6 to i wybierzesz cyfry 1-6 to policzysz liczbę 1234566666. Ale tę samą liczbę policzysz, gdy ustalisz sobie miejsca 1-5 i 7, a cyfry 1-6

Hm...ja treść zadania rozumiem tak, że do wyboru ma 9 cyfr, bez zera.
Z tych 9 cyfr, bez zera, 6 różnych ma utworzyć liczbę 10-cyfrową.
Wynika z tego, że od 1 do 4 cyfr, spośród tych 6-ciu tworzących liczbę, musi się powtarzać, od 2 do 5-ciu razy. Czyli jeśli z tych 6-ciu wybranych cyfr będę ciągi 4-cyfrowe = tworzyła wariacje z powtórzeniami (dla zapełnienia 4 wolnych dziur w tworzonej liczbie), to one się będą powtarzały w dowolnych układach...np tylko jedna 4 razy, albo po 2 albo dowolnie inaczej.

kerajs, no tak, ale w Twojej propozycji c,d, f się nie powtarzają. To powinnam na piechotę wszystkie powtórki liczyć we wszystkich kombinacjach?

a4karo Ja nie ustalam konkretnych miejsc.
W pierwszym kroku wybrałam 6 cyfr z dostępnych 9-ciu sztuk, na \(\displaystyle{ C_{9}^{6}}\) sposobów
W drugim kroku wybrałam dla nich 6 miejsc z 10 w tworzonej liczbie..na \(\displaystyle{ C_{6}^{10}}\) sposobów
Pozostało mi zapełnić 4 dziury.

Właśnie w drugim kroku ustaliłaś (wybrałaś - jedna ryba) te 6 miejsc.

Tak, spośród 10-ciu. Czyli te dwie możliwości , i wiele innych,

Jeżeli sobie ustalisz miejsca 1-6 to i wybierzesz cyfry 1-6 to policzysz liczbę 1234566666. Ale tę samą liczbę policzysz, gdy ustalisz sobie miejsca 1-5 i 7, a cyfry 1-6

mieszczą się w liczbie wybranych.

No dobrze, czyli rozumiem, że mam wybranych 6 różnych cyfr i ustawiłam je na 6-ciu miejscach (dowolnych spośród 10-ciu w tworzonej liczbie).
A czy dobrze zapełniłam dziury?-- 29 kwi 2018, o 07:46 --Please...mógłby ktoś napisać, jak to powinno być?

Bo a4karo to ja chyba nie rozumiem

Ania221 pisze: kerajs, no tak, ale w Twojej propozycji c,d, f się nie powtarzają. To powinnam na piechotę wszystkie powtórki liczyć we wszystkich kombinacjach?

Nie liczysz dodatkowo żadnych powtórek, gdyż literom przyporządkowuje się dowolne cyfry.
Zresztą, litery wprowadziłem sztucznie (dla wizualizacji układu) zamiast pisać:
1) Jedna z cyfr występuje pięciokrotnie, a pozostałe jednokrotne.
2) Jedna z cyfr występuje czterokrotnie, inna dwukrotnie, a pozostałe jednokrotnie
itd.

OK...a mógłbyś podać gotowe rozwiązanie? Nie obliczenie, tylko symbolami