[MIX] Obozy OMJ 2016-2017
: 26 kwie 2018, o 20:47
W tym temacie chcę zebrać zadania z Obozów OMJ (poz. OMJ) z lat 2016-2017, których rozwiązań nie udało mi się na forum znaleźć, a myślę, że są to fajne zadania i każdemu miło by było się z nimi zmierzyć, a poza tym są, wg mnie, bardzo dobrym materiałem sprawdzającym do OMJ (czasem i do OM).
Piszmy tutaj swoje rozwiązania lub zalążki rozwiązań, by wspólnie podołać temu zestawowi
2016
4. Na zewnątrz rombu \(\displaystyle{ ABCD}\) zbudowano drugi romb \(\displaystyle{ BCEF}\), w którym \(\displaystyle{ \sphericalangle EFB= \alpha}\). Odcinki \(\displaystyle{ AC, DE}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ G}\). Oblicz miarę kąta \(\displaystyle{ DGA}\).
16.
W przestrzeni pokolorowano na fioletowo \(\displaystyle{ 129}\) różnych punktów kratowych, tzn. punktów o wszystkich trzech współrzędnych całkowitych. Udowodnij, że istnieje odcinek o fioletowych końcach zawierający co najmniej cztery inne (oprócz końców) punkty kratowe.
20.
Dane są dwa przystające okręgi \(\displaystyle{ o _{1} , o _{2}}\) oraz takie punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), że \(\displaystyle{ A}\) leży na okręgu \(\displaystyle{ o _{1}}\), a \(\displaystyle{ B}\) leży na okręgu \(\displaystyle{ o _{2}}\) . Punkty te poruszają się po odpowiednich okręgach z tą samą szybkością przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wykaż, że symetralne odcinków \(\displaystyle{ AB}\) przechodzą przez stały punkt lub są równoległe.
22.
Udowodnij, że istnieje taka liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite \(\displaystyle{ a _{1} ,a _{2} ,a _{3} ,a _{4} ,a _{5} ,a _{6} ,a _{7}}\), że dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,4,5,6}\) liczby \(\displaystyle{ a _{1 } ^{ k}+ a _{2 } ^{ k}+ a _{3 } ^{ k}+ a _{4 } ^{ k}+ a _{5 } ^{ k}+ a _{6 } ^{ k}+ a _{7 } ^{ k}}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ p}\) , ale liczba \(\displaystyle{ a _{1 } ^{ 7}+ a _{2 } ^{ 7}+ a _{3 } ^{7}+ a _{4 } ^{ 7}+ a _{5 } ^{ 7}+a _{6 } ^{ 7}+ a _{7 } ^{ 7}}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).
24.
Punkt \(\displaystyle{ F}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ ABC}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ AF}\). Punkt \(\displaystyle{ E}\) leży po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AF}\) co punkt \(\displaystyle{ C}\) i spełnia zależność \(\displaystyle{ BD=DE=EA}\). Oblicz miarę kąta \(\displaystyle{ CBE}\).
27.
W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego, a punkt \(\displaystyle{ H}\) to ortocentrum. Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC}\) przechodzi przez środek odcinka \(\displaystyle{ HO}\). Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ BAC}\).
29.
Dane są takie dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2}, a _{3}, a _{4}, a _{5}, a _{6}, a _{7}}\), że \(\displaystyle{ a _{1} +a _{2} +a _{3}+,a _{4}+a _{5}+a _{6}+a _{7}= 7}\). Wykaż, że istnieje permutacja \(\displaystyle{ \left( b _{1} ,b _{2} ,b _{3} ,b _{4} ,b _{5} ,b _{6} ,b _{7}\right)}\) liczb \(\displaystyle{ \left( a _{1} ,a _{2} ,a _{3} ,a _{4} ,a _{5} ,a _{6} ,a _{7}\right)}\), dla której spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ b _{1}b _{2}+b _{2} b _{3} +b _{3}b _{4}+b _{4}b _{5} +b _{5}b_{6}+b_{6}b _{7}+b _{7}b _{1} \le 7}\).
30.
Na zewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) zbudowano romby \(\displaystyle{ ACFG}\) i \(\displaystyle{ BCDE}\) . Spełnione są równości \(\displaystyle{ \sphericalangle ACF=\sphericalangle CBE}\) oraz \(\displaystyle{ AB =1}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są odpowiednio środkami odcinków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ EG}\). Oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ MN}\).
2017:
4.
Na boku \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wybrano punkt \(\displaystyle{ K}\). Prosta \(\displaystyle{ CK}\) przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punktach \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ M}\). Wykaż, że przy ustalonych punktach \(\displaystyle{ A,B,C}\) środki okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ AMK}\) leżą na pewnej prostej.
18.
Na płaszczyźnie danych jest \(\displaystyle{ n}\) punktów zielonych, \(\displaystyle{ n}\) punktów czerwonych i \(\displaystyle{ n}\) punktów niebieskich, z których żadne trzy nie są współliniowe. Rozstrzygnij, w zależności od \(\displaystyle{ n > 1}\), czy zawsze można wybrać \(\displaystyle{ n}\) trójkątów o różnokolorowych wierzchołkach i rozłącznych obwodach.
23.
Udowodnij, że spośród dowolnych \(\displaystyle{ 100}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ 10}\)-elementowego można wybrać dwa o różnicy symetrycznej co najwyżej dwuelementowej.
Uwaga: Różnicą symetryczną zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) nazywamy zbiór \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)}\).
27.
Dany jest czworokąt wpisany w okrąg. Wykaż, że punkty przecięcia par dwusiecznych sąsiednich kątów wewnętrznych tego czworokąta leżą na dwóch prostych prostopadłych.
28.
Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ a _{1 } ^{ 42}+ a _{2 } ^{42}+ a _{3 } ^{ 42}+ ... + a _{43 } ^{ 42}=44b ^{ 42}}\) nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych \(\displaystyle{ a _{1} ,a _{2} ,a _{3}, ..., a _{43}, b}\).
30.
Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\), przy czym \(\displaystyle{ AB < BC < CA}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), a punkt \(\displaystyle{ H}\) to ortocentrum tego trójkąta. Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są odpowiednio środkami krótszych łuków \(\displaystyle{ CA}\) i \(\displaystyle{ AB}\) okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) . Punkt \(\displaystyle{ X}\) jest odbiciem punktu \(\displaystyle{ E}\) względem prostej \(\displaystyle{ CA}\), punkt \(\displaystyle{ Y}\) zaś jest odbiciem punktu \(\displaystyle{ F}\) względem prostej \(\displaystyle{ AB}\). Wykaż, że jeżeli punkty \(\displaystyle{ A,X,Y}\) są współliniowe, to punkty \(\displaystyle{ O,H,X,Y}\) leżą na jednym okręgu.
31.
Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ a ^{a^{a}} \cdot b ^{b^{b}} =c ^{c^{c}} \cdot d ^{d^{d}}}\) nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych \(\displaystyle{ a < c < d < b}\).
33.
Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Punktem styczności tego okręgu z bokiem \(\displaystyle{ AB}\) jest punkt \(\displaystyle{ D}\), a punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ CD}\). Wykaż, że prosta \(\displaystyle{ KI}\) przechodzi przez środek boku \(\displaystyle{ AB}\).
Piszmy tutaj swoje rozwiązania lub zalążki rozwiązań, by wspólnie podołać temu zestawowi
2016
4. Na zewnątrz rombu \(\displaystyle{ ABCD}\) zbudowano drugi romb \(\displaystyle{ BCEF}\), w którym \(\displaystyle{ \sphericalangle EFB= \alpha}\). Odcinki \(\displaystyle{ AC, DE}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ G}\). Oblicz miarę kąta \(\displaystyle{ DGA}\).
16.
W przestrzeni pokolorowano na fioletowo \(\displaystyle{ 129}\) różnych punktów kratowych, tzn. punktów o wszystkich trzech współrzędnych całkowitych. Udowodnij, że istnieje odcinek o fioletowych końcach zawierający co najmniej cztery inne (oprócz końców) punkty kratowe.
20.
Dane są dwa przystające okręgi \(\displaystyle{ o _{1} , o _{2}}\) oraz takie punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), że \(\displaystyle{ A}\) leży na okręgu \(\displaystyle{ o _{1}}\), a \(\displaystyle{ B}\) leży na okręgu \(\displaystyle{ o _{2}}\) . Punkty te poruszają się po odpowiednich okręgach z tą samą szybkością przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Wykaż, że symetralne odcinków \(\displaystyle{ AB}\) przechodzą przez stały punkt lub są równoległe.
22.
Udowodnij, że istnieje taka liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite \(\displaystyle{ a _{1} ,a _{2} ,a _{3} ,a _{4} ,a _{5} ,a _{6} ,a _{7}}\), że dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,4,5,6}\) liczby \(\displaystyle{ a _{1 } ^{ k}+ a _{2 } ^{ k}+ a _{3 } ^{ k}+ a _{4 } ^{ k}+ a _{5 } ^{ k}+ a _{6 } ^{ k}+ a _{7 } ^{ k}}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ p}\) , ale liczba \(\displaystyle{ a _{1 } ^{ 7}+ a _{2 } ^{ 7}+ a _{3 } ^{7}+ a _{4 } ^{ 7}+ a _{5 } ^{ 7}+a _{6 } ^{ 7}+ a _{7 } ^{ 7}}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).
24.
Punkt \(\displaystyle{ F}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ ABC}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ AF}\). Punkt \(\displaystyle{ E}\) leży po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AF}\) co punkt \(\displaystyle{ C}\) i spełnia zależność \(\displaystyle{ BD=DE=EA}\). Oblicz miarę kąta \(\displaystyle{ CBE}\).
27.
W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego, a punkt \(\displaystyle{ H}\) to ortocentrum. Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ BAC}\) przechodzi przez środek odcinka \(\displaystyle{ HO}\). Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ BAC}\).
29.
Dane są takie dodatnie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2}, a _{3}, a _{4}, a _{5}, a _{6}, a _{7}}\), że \(\displaystyle{ a _{1} +a _{2} +a _{3}+,a _{4}+a _{5}+a _{6}+a _{7}= 7}\). Wykaż, że istnieje permutacja \(\displaystyle{ \left( b _{1} ,b _{2} ,b _{3} ,b _{4} ,b _{5} ,b _{6} ,b _{7}\right)}\) liczb \(\displaystyle{ \left( a _{1} ,a _{2} ,a _{3} ,a _{4} ,a _{5} ,a _{6} ,a _{7}\right)}\), dla której spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ b _{1}b _{2}+b _{2} b _{3} +b _{3}b _{4}+b _{4}b _{5} +b _{5}b_{6}+b_{6}b _{7}+b _{7}b _{1} \le 7}\).
30.
Na zewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) zbudowano romby \(\displaystyle{ ACFG}\) i \(\displaystyle{ BCDE}\) . Spełnione są równości \(\displaystyle{ \sphericalangle ACF=\sphericalangle CBE}\) oraz \(\displaystyle{ AB =1}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są odpowiednio środkami odcinków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ EG}\). Oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ MN}\).
2017:
4.
Na boku \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wybrano punkt \(\displaystyle{ K}\). Prosta \(\displaystyle{ CK}\) przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punktach \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ M}\). Wykaż, że przy ustalonych punktach \(\displaystyle{ A,B,C}\) środki okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ AMK}\) leżą na pewnej prostej.
18.
Na płaszczyźnie danych jest \(\displaystyle{ n}\) punktów zielonych, \(\displaystyle{ n}\) punktów czerwonych i \(\displaystyle{ n}\) punktów niebieskich, z których żadne trzy nie są współliniowe. Rozstrzygnij, w zależności od \(\displaystyle{ n > 1}\), czy zawsze można wybrać \(\displaystyle{ n}\) trójkątów o różnokolorowych wierzchołkach i rozłącznych obwodach.
23.
Udowodnij, że spośród dowolnych \(\displaystyle{ 100}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ 10}\)-elementowego można wybrać dwa o różnicy symetrycznej co najwyżej dwuelementowej.
Uwaga: Różnicą symetryczną zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) nazywamy zbiór \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup (B \setminus A)}\).
27.
Dany jest czworokąt wpisany w okrąg. Wykaż, że punkty przecięcia par dwusiecznych sąsiednich kątów wewnętrznych tego czworokąta leżą na dwóch prostych prostopadłych.
28.
Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ a _{1 } ^{ 42}+ a _{2 } ^{42}+ a _{3 } ^{ 42}+ ... + a _{43 } ^{ 42}=44b ^{ 42}}\) nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych \(\displaystyle{ a _{1} ,a _{2} ,a _{3}, ..., a _{43}, b}\).
30.
Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\), przy czym \(\displaystyle{ AB < BC < CA}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), a punkt \(\displaystyle{ H}\) to ortocentrum tego trójkąta. Punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są odpowiednio środkami krótszych łuków \(\displaystyle{ CA}\) i \(\displaystyle{ AB}\) okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) . Punkt \(\displaystyle{ X}\) jest odbiciem punktu \(\displaystyle{ E}\) względem prostej \(\displaystyle{ CA}\), punkt \(\displaystyle{ Y}\) zaś jest odbiciem punktu \(\displaystyle{ F}\) względem prostej \(\displaystyle{ AB}\). Wykaż, że jeżeli punkty \(\displaystyle{ A,X,Y}\) są współliniowe, to punkty \(\displaystyle{ O,H,X,Y}\) leżą na jednym okręgu.
31.
Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ a ^{a^{a}} \cdot b ^{b^{b}} =c ^{c^{c}} \cdot d ^{d^{d}}}\) nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach całkowitych \(\displaystyle{ a < c < d < b}\).
33.
Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Punktem styczności tego okręgu z bokiem \(\displaystyle{ AB}\) jest punkt \(\displaystyle{ D}\), a punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ CD}\). Wykaż, że prosta \(\displaystyle{ KI}\) przechodzi przez środek boku \(\displaystyle{ AB}\).
Ustalmy układ współrzędnych tak, żeby