Matematyka.pl

Czy ktoś z Was mógłby przedstawić mi sposób rozwiązania następującego zadania:

Na każdej ścianie dwóch sześciennych kości figuruje liczba całkowita dodatnia nieprzekraczająca \(\displaystyle{ 12}\), przy czym na danej kości liczby mogą się powtarzać. Kości nie muszą być identyczne. Rzucamy taką parę kości i dodajemy dwie uzyskane liczby, widoczne na górnych ścianach kości. Można w ten sposób otrzymać liczby naturalne od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 19}\) i tylko takie; każdą z nich z tym samym prawdopodobieństwem. Jakie liczby znajdują się na ścianach tych dwóch kości? Wypisać te liczby, w kolejności niemalejącej, dla każdej kości oddzielnie.

Interesuje mnie głównie ilość rozwiązań tego zadania.

Przede wszystkim:
Skoro można uzyskać 19, to oznacza, że jeśli na jednej kości największa jest x, to na drugiej 19-x. Po drugie, skoro prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich jest takie same, oznacza to, że można uzyskać je wszystkie (z dwójką włącznie), stąd na obu kościach są jedynki. Dalej można jakoś logicznie do tego podchodzić (np. skoro można uzyskać trójkę, to musi być dwójka)

Dość łatwo dowieść że równe prawdopodobieństwa mogą być tylko dla kostki o liczbach: 1,a,b,c,d,e i kostki: 1,1,x,x,y,y gdzie pod każdą literą jest inna liczba.
Przyjmując relacje \(\displaystyle{ 1<a<b<c<d<e \le 12}\) oraz \(\displaystyle{ 1<x<y \le 12}\) należy sprawdzić sześć przypadków:
\(\displaystyle{ e=7 \wedge y=12 \\
e=8 \wedge y=11 \\
e=9 \wedge y=10 \\
e=10 \wedge y=9 \\
e=11 \wedge y=8 \\
e=12 \wedge y=7}\)
Mi wychodzi tylko jedno rozwiązanie:
1,2,3,10,11,12 i 1,1,4,4,7,7

Rozwiązań jest więcej niż jedno, ja sam naliczyłem \(\displaystyle{ 48}\)
oto przykładowe:
\(\displaystyle{ 1,2,10,10,11,11\ \mbox{ i }\ 1,3,5,7,8,8\\
1,3,10,12,12,12\ \mbox{ i }\ 1,2,5,6,6,7\\
1,2,10,11,11,11\ \mbox{ i }\ 1,3,5,6,8,8,\\
1,3,9,10,12,12\ \mbox{ i }\ 1,2,4,5,6,7\\
1,2,9,10,12,12\ \mbox{ i }\ 1,3,4,5,6,7\\
1,2,6,7,9,10\ \mbox{ i }\ 1,2,4,8,8,9}\)

Zauważ że prawdopodobieństwo wylosowania sumy równej \(\displaystyle{ 2}\) (podobnie jak sumy równej \(\displaystyle{ 3,4,...,19}\)) powinno wynosić \(\displaystyle{ \frac{2}{36}}\), a w każdej z Twoich propozycji wynosi ono \(\displaystyle{ \frac{1}{36}}\), więc nie spełniają one warunków zadania.

Michal3434 pisze: Rzucamy taką parę kości i dodajemy dwie uzyskane liczby, widoczne na górnych ścianach kości. Można w ten sposób otrzymać liczby naturalne od 2 do 19 i tylko takie; każdą z nich z tym samym prawdopodobieństwem.

Znam pewną bardziej ogólną metodę.

Prawidłowej kostce sześciennej mającej na ściankach liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a_i}\) można przyporządkować wielomian \(\displaystyle{ \frac{1}{6}x^{a_1}+...+\frac{1}{6}x^{a_6}}\).

Koneserzy będą wiedzieli, że dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ S}\) mówimy wówczas o \(\displaystyle{ \mathbb{E}(x^S)}\) .

Mając takie dwie kostki, mamy dwa wielomiany:
\(\displaystyle{ P(x)=\frac{1}{6}x^{a_1}+...+\frac{1}{6}x^{a_6}}\)
oraz
\(\displaystyle{ Q(x)=\frac{1}{6}x^{b_1}+...+\frac{1}{6}x^{b_6}}\).

Pamiętamy, że musi być \(\displaystyle{ P(1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ Q(1)=1}\). To się później przyda.

Jeśli rzucamy dwoma kostkami, otrzymanie sumy \(\displaystyle{ k}\) oznacza, że otrzymaliśmy takie \(\displaystyle{ a_i}\) oraz \(\displaystyle{ b_j}\), że \(\displaystyle{ a_i+b_j=k}\). Odpowiada to współczynnikowi przy \(\displaystyle{ x^k}\) po wymnożeniu wielomianów \(\displaystyle{ P(x)}\) oraz \(\displaystyle{ Q(x)}\). A to, zgodnie z prawdopodobieństwami zadanymi w treści zadania, wynosi \(\displaystyle{ W(x)=\frac{2}{36}(x^2+x^3+\ldots+x^{19})}\).

Zatem zadanie sprowadza się do rozwiązania równania \(\displaystyle{ P(x) \cdot Q(x) = W(x)}\), oczywiście przy odpowiednich założeniach, do sprecyzowania których zachęcam poniżej. Rozpisując:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{6}x^{a_1}+...+\frac{1}{6}x^{a_6}) \cdot (\frac{1}{6}x^{b_1}+...+\frac{1}{6}x^{b_6}) = \frac{2}{36}(x^2+x^3+\ldots+x^{19})}\).

Podstawową potrzebą jest więc odpowiedź na to, jak rozłożyć wielomian \(\displaystyle{ 2(x^2+x^3+\ldots+x^{19})}\) na czynniki. Najprościej zacząć od: \(\displaystyle{ 2(x^2+x^3+\ldots+x^{19})=2x^2 \cdot \frac{x^{18}-1}{x-1}}\), po czym używać wzory na różnicę kwadratów, a także sumę/różnicę trzecich potęg.

Wolfram podpowiada, żę \(\displaystyle{ 2(x^2+x^3+\ldots+x^{19})=2x^2(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^6-x^3+1)(x^6+x^3+1)}\).

Zachęcam do dokończenia i zapisania poniżej

dzięki za pomoc