Matematyka.pl

Rozgrzewka przed maturą I: 406703.htm
Rozgrzewka przed maturą II: 420468.htm

Kolejny łańcuszek maturalny (kontynuacja tematów kolegi mint18).

1.
W urnie znajdują się kule z liczbami naturalnymi od 10 do 20 (włącznie). Losujemy trzy kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo że numery kolejnych wylosowanych kul tworzą ciąg arytmetyczny?

1.
Wylosowanie pierwszych dwóch nie ma wpływu na znacznie więc je sobie normalnie wyciągamy i zostaje \(\displaystyle{ 19}\).

Teraz mamy cztery warianty:

I Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \ge 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \le 20}\)

wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{2}{19}}\) szansy

II Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \ge 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ > 20}\)

wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{1}{19}}\) szansy

III Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica mniejsze od \(\displaystyle{ 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \le 20}\)

wtedy mam \(\displaystyle{ \frac{1}{19}}\) szansy

IV Mogę wylosować dwie pierwsze liczby tak, że wartość pierwszej minus różnica \(\displaystyle{ \le 10}\) i wartość drugiej plus różnica \(\displaystyle{ \ge 20}\)

Wtedy wylosowane takiej kuli jest niemożliwe.

Mam nadzieję, że dobrze.

2.
Ile rozwiązań w liczbach naturalnych k,n ma równanie:
\(\displaystyle{ 2!+3!+...+n!=k^3}\)


PS
Odpowiadający przedstawia kolejne zadanie.

Jedyne rozwiązanie w liczbach naturalnych dla \(\displaystyle{ n<7}\),to \(\displaystyle{ n=3}\) i \(\displaystyle{ k=2}\).
Dla \(\displaystyle{ n\ge 7}\), nie zgadza się reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\). Więc \(\displaystyle{ n=3,k=2}\),to jedyne rozwiązanie.
Jeżeli jest dobrze, to wrzucę następne.

Owszem, to jedyne rozwiązanie. Należałoby trochę dopracować uzasadnienie braku innych rozwiązań.
Podobne było zadanie 33. 406703,45.htm#p5427825

Przedstaw, proszę, swoje zadanie.

Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sqrt{2|x|- x^2} =a}\).
Przepraszam za brak Latexu, piszę z telefonu. Poprawię się, obiecuję.

\(\displaystyle{ \sqrt{2 \left| x\right| -x^2} = a}\)

\(\displaystyle{ 2 \left| x\right|-x^2 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ t^2 -2t \le 0}\)
\(\displaystyle{ t(t-2) \le 0}\)
\(\displaystyle{ \left| x\right| \in \left\langle 0; 2\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\langle -2; 2\right\rangle \Leftrightarrow 2\left| x\right|-x^2 \in \left\langle 0; 1 \right\rangle}\)
Stąd \(\displaystyle{ a \in \left\langle 0; 1\right\rangle}\)
Z rysunku można odczytać ilość rozwiązań - to jest złożenie dwóch paraboli \(\displaystyle{ f(x) = x^2-2x, x >0}\) i \(\displaystyle{ g(x)=x^2+2x, x < 0}\)
Dla \(\displaystyle{ a < 0}\) rozwiązań brak
Dla \(\displaystyle{ a = 0}\) rozwiązania są trzy: -2, 0, 2
Dla \(\displaystyle{ 0 < a < 1}\) rozwiązania są cztery
Dla \(\displaystyle{ a = 1}\) rozwiązania są dwa: -1, 1 (maksima wspomnianych funkcji)
Dla \(\displaystyle{ a > 1}\) rozwiązań brak

SloppyTurtle pisze:Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(\displaystyle{ \sqrt{2|x|- x^2} =a}\).
Przepraszam za brak Latexu, piszę z telefonu. Poprawię się, obiecuję.

Gwiazdeczka z kiełbasy

PoweredDragon Jest okej, Twoja kolej.
VirtualUser Ja widziałem je gdzieś indziej

Dorzucę coś od siebie (niestety nie mam odpowiedzi, więc trzeba robić to na czuja )

Dane jest równanie \(\displaystyle{ m^2 x^3 - (6m+m^2)x^2 +(m+6)x=0}\)
Znaleźć takie wartości parametru \(\displaystyle{ m \in C}\), dla których nieujemne rozwiązania równania są liczbami całkowitymi.

wstawiam w ukrytym żeby nikomu zabawy nie popsuć, chociaż nadal zastanawiam się nad poprawnością dowodu pod koniec

Tia... Problem w tym, że oba rozwiązania nie muszą być nieujemne. Tu jest powiedziane, że nieujemne mają być całkowite, tj. mogą być dwa rozwiązania (1 ujemne i 1 nieujemne) i to 1 nieujemne całkowite spełnia warunki zadania...

rozpatrywanie przypadku gdy \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \le 0}\) nic nie zmieni, ponieważ:

1. Zamieni to warunek \(\displaystyle{ m \ge -6}\) na \(\displaystyle{ m \le -6}\) z którego korzystaliśmy tylko po to, by zauważyć zależność pomiędzy zerowaniem się delty a całkowitością rozwiązań - czyli przepisujemy wszystko to samo zamieniając warunek z \(\displaystyle{ m \ge -6}\) na powielony warunek z samej delty \(\displaystyle{ m \le -6}\).

2. W związku z tym, że dowód dla \(\displaystyle{ m^2+8m+12=k^2}\) robię dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) a nie \(\displaystyle{ k=0}\) rozpatruję wszystkie możliwe przypadki istnienia pierwiastków (zgodnie z założeniami) i dopiero na końcu dowodu dostaję liczby dla których akurat delta się zeruje (co dowodzi temu, że jeśli pierwiastki całkowite istnieją - to są podwójne.)

Również coś dorzucę, aby rozruszać ten łańcuszek.

5. Udowodnijcie, że \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożoną liczbą naturalną.

I może faktycznie lepiej wrzucać rozwiązania w ukrytej formie.

Chewbacca97 pisze:Również coś dorzucę, aby rozruszać ten łańcuszek.

5. Udowodnijcie, że \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożoną liczbą naturalną.

I może faktycznie lepiej wrzucać rozwiązania w ukrytej formie.

Dla których maturzystów to zadanie? Przeciez to jest problem z shortlist '92.