Matematyka.pl

Rozważmy algebrę Banacha \(\displaystyle{ \ell_1(\mathbb Z)}\) obustronnie nieskończonych szeregów bezwzględnie zbieżnych ze splotem (obustronnym iloczynem Cauchy'ego)

• \(\displaystyle{ (x_n)_{n\in \mathbb Z}\ast (y_n)_{n\in \mathbb Z} = \sum_{n\in \mathbb{Z}} (\sum_{ i+j = n} x_i y_j)\cdot e_n,}\)

gdzie \(\displaystyle{ e_n}\) to ciąg, który na \(\displaystyle{ n}\)-tym miejscu ma 1, a poza tym 0.

Czy splot

• \(\displaystyle{ \ast\colon \ell_1(\mathbb Z)\times\ell_1(\mathbb Z)\to \ell_1(\mathbb Z)}\)

jest ?

Gdyby tak było, byłaby to odpowiedź na pewne pytanie dotyczące natury odwzorowań dwuliniowych (zob. ).

Uwagi:

1. Splot (iloczyn Cauchy'ego) w \(\displaystyle{ \ell_1(\mathbb{N}_0)}\) nie jest otwarty.
2. Splot w \(\displaystyle{ \ell_1(\mathbb Z)}\) nie jest [url=https://math.stackexchange.com/questions/2232974/uniformly-open-functions-wheres-the-contradiction]jednostajnie otwarty[/url].

Spektralny pisze: 1. Splot (iloczyn Cauchy'ego) w \(\displaystyle{ \ell_1(\mathbb{N}_0)}\) nie jest otwarty.

Jak się to pokazuje? I czemu ten dowód nie przechodzi na \(\displaystyle{ \ell_1 (\mathbb{Z})}\)?

Można pokazać, że jeżeli mnożenie w algebrze Banacha jest otwarte to elementy odwracalne tej algebry są gęste. Dla \(\displaystyle{ \ell_1(\mathbb N_0)}\) można łatwo uzasadnić, że odwracalne elementy nie są gęste. W \(\displaystyle{ \ell_1(\mathbb Z)}\) elementy odwracalne są gęste, ale nic z tego nie wynika.

Zobacz Proposition 4.1 .