wykazac nirównosc

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

wykazac nirównosc

Post autor: robin5hood » 30 wrz 2007, o 19:36

Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in C_+}\) {1} zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

wykazac nirównosc

Post autor: luka52 » 30 wrz 2007, o 20:01

Spr. dla \(\displaystyle{ n_0 = 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24} > \frac{13}{24}}\)

Zał.
\(\displaystyle{ T(k): \ \frac{1}{k+1} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}}\)

Teza
\(\displaystyle{ T(k+1): \ \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} > \frac{13}{24}}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ L_T = \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > \frac{13}{24} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > \frac{13}{24}}\)
Należy jeszcze wykazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > 0\\
\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2} > 0\\
\frac{1}{2k+1} > \frac{1}{2k+2}\\
2k + 1 < 2k + 2\\
1 < 2}\)

Zatem na mocy tw. indukcji matematycznej dana nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej > 1.

ODPOWIEDZ