wykazac nirównosc
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
wykazac nirównosc
Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in C_+}\) {1} zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
wykazac nirównosc
Spr. dla \(\displaystyle{ n_0 = 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24} > \frac{13}{24}}\)
Zał.
\(\displaystyle{ T(k): \ \frac{1}{k+1} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}}\)
Teza
\(\displaystyle{ T(k+1): \ \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} > \frac{13}{24}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ L_T = \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > \frac{13}{24} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > \frac{13}{24}}\)
Należy jeszcze wykazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > 0\\
\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2} > 0\\
\frac{1}{2k+1} > \frac{1}{2k+2}\\
2k + 1 < 2k + 2\\
1 < 2}\)
Zatem na mocy tw. indukcji matematycznej dana nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej > 1.
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24} > \frac{13}{24}}\)
Zał.
\(\displaystyle{ T(k): \ \frac{1}{k+1} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}}\)
Teza
\(\displaystyle{ T(k+1): \ \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} > \frac{13}{24}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ L_T = \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > \frac{13}{24} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > \frac{13}{24}}\)
Należy jeszcze wykazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > 0\\
\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2} > 0\\
\frac{1}{2k+1} > \frac{1}{2k+2}\\
2k + 1 < 2k + 2\\
1 < 2}\)
Zatem na mocy tw. indukcji matematycznej dana nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej > 1.