Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{5 ^{n}-\left( -3\right) ^{n} }{n ^{2} }x ^{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty }\tg \frac{1}{n}\left( x-2\right) ^{n}}\)
Proszę o pomoc i wskazówki jak to rozwiązać, bo w odpowiedziach mam podane \(\displaystyle{ \left\langle -5,5\right \rangle}\)dla pierwszego i \(\displaystyle{ \left( -1,1\right\rangle}\) dla drugiego.

W drugim przykładzie na pierwszy rzut oka nie odpowiada mi już środek, który będzie \(\displaystyle{ x=2}\), więc przedział zbieżności nie może być tak jak w odpowiedziach. Przy próbie liczenia wyszło mi, że obszar zbieżności tego szeregu to \(\displaystyle{ \left[ 1,3\right).}\)

Z kryterium Cauchy'ego można określić dla jakich \(\displaystyle{ x}\) będzie spełnione:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{5 ^{n}-\left( -3\right) ^{n} }{n ^{2} }x ^{n}
\right| }<1}\)

Czyli innymi słowy kiedy będzie tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{5 ^{n}-\left( -3\right) ^{n} }{n ^{2} }x ^{n}
\right| }=5\left| x\right|<1}\)

Z tego wynika że promień zbieżności to \(\displaystyle{ \left( - \frac{1}{5}, \frac{1}{5} \right)}\) a sprawdzenie krańców przedziały robisz przez podstawianie ich do szeregu, okaże się wtedy że krańce też należą do promienia zbieżność. Więc ostatecznie powinno być \(\displaystyle{ \left[ - \frac{1}{5}, \frac{1}{5} \right]}\).

W tym drugim przykładzie można analogicznie postąpić:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\tg \frac{1}{n}\left( x-2\right) ^{n}}=\left| x-2\right|<1}\)

Więc zbieżność mamy zagwarantowaną dla \(\displaystyle{ x\in\left( 1,3\right)}\) przy czym dokładniejsze badanie pokazuje że \(\displaystyle{ x=1}\) można dołączyć do promienia zbieżności na mocy kryterium Leibniza. Ale już dla \(\displaystyle{ x=3}\) szereg jest rozbieżny na mocy ilorazowego z \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n}}\). Więc zostaje \(\displaystyle{ x\in\left[ 1,3\right)}\)

W drugim masz rację. W pierwszym zauważ, że \(\displaystyle{ 5^n}\) jest dużo większe od \(\displaystyle{ 3^n}\).

A jeśli w pierwszym zrobię tak jak wyżej, z kryt. Cauchy'ego i potem skorzystam z tw. o 3 ciągach? Z góry oszacowałbym tak \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{2 \cdot 5^{n} }{n ^{2} } }}\) , tylko nie wiem co z dołem..

dół możesz też szacować tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{5^n-3^n}{n^2} }= \frac{ 5 \cdot \sqrt[n]{1-\left( \frac{3}{5} \right)^n } }{ \sqrt[n]{n^2} } \rightarrow 5}\)

A podpowiecie, z którego kryterium określić krańce przedziału? Z Cauchy'ego wychodzi 1 i to nic nie daje.

Oczywiście, że to coś daje. Być może za bardzoś przyzwyczaił się do szeregów liczbowych, gdzie istotnie granica odpowiedniego wyrażenia równa \(\displaystyle{ 1}\) w kryteriach Cauchy'ego czy d'Alemberta nic nam nie daje. Tutaj jednak interesuje Cię samo wyrażenie
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}}\), jego odwrotność (jak ta granica wynosi zero, wtedy masz promień zbieżności nieskończoność) to będzie promień zbieżności, czyli
w tym przypadku \(\displaystyle{ 1}\).

Premislav pisze:Oczywiście, że to coś daje. Być może za bardzoś przyzwyczaił się do szeregów liczbowych, gdzie istotnie granica odpowiedniego wyrażenia równa \(\displaystyle{ 1}\) w kryteriach Cauchy'ego czy d'Alemberta nic nam nie daje. Tutaj jednak interesuje Cię samo wyrażenie
\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}}\), jego odwrotność (jak ta granica wynosi zero, wtedy masz promień zbieżności nieskończoność) to będzie promień zbieżności, czyli
w tym przypadku \(\displaystyle{ 1}\).

To chyba zrozumiałem. Chodzi mi o te punkty na krańcach przedziału zbieżności, wydaje mi się, że tam już nie ma szeregu potęgowego skoro podstawiam wartości w miejsce x. I wtedy sprawdzam zbieżność dla tych konkretnych punktów, a z kryt. Cauchy'ego wychodzi 1, stąd moje wątpliwości

Tzn, przedział zbieżności wyszedł \(\displaystyle{ \left( - \frac{1}{5}, \frac{1}{5} \right)}\). Porównałem to ilorazowo z szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{ n^{2} }}\) i wtedy wychodzi, że na krańcach też jest zbieżny. Jest ok?

Ojej, co ja tam powyżej napisałem, to ja nawet nie wiem. Dziwne, bo niby się wyspałem.

Tak, jest OK.

Ważne, że wszystko już jasne i mogę iść na kolokwium ze świadomością, że rozumiem
Dzięki za pomoc wszystkim