Matematyka.pl

Ile pierwiastków ma wielomian \(\displaystyle{ w(x)= x^3-x^2-2x+1}\) w przedziale \(\displaystyle{ (-2,2)}\) ?

Pochodna tego wielomianu wynosi \(\displaystyle{ 3x^2-2x-2=3\left( x-\frac 1 3\right)^2-\frac 7 3}\), rozważ kiedy jest ona dodatnia (wtedy funkcja rośnie), a kiedy ujemna (wtedy funkcja maleje).
Zdaje się, że maleje dla \(\displaystyle{ x \in\left( \frac{1-\sqrt{7}}{3}, \frac{1+\sqrt{7}}{3}\right)}\), ale mogłem się rąbnąć w obliczeniach.
Ponadto \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} w(x)=-\infty, \ \lim_{x \to +\infty}w(x)=+\infty}\) (jak to bywa z wielomianami nieparzystego stopnia). Sprawdź wartości \(\displaystyle{ w(x)}\) w punktach \(\displaystyle{ \frac{1\pm\sqrt{7}}{3}}\), a dalej skorzystaj z tw. Darboux (funkcja ciągła ma własność Darboux).-- 20 kwi 2018, o 14:45 --Aha, i jeszcze oszacuj/oblicz, jak się mają liczby \(\displaystyle{ \frac{1\pm\sqrt{7}}{3}}\) do \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 2}\). Jeśli obie wpadają do przedziału \(\displaystyle{ (-2,2)}\), to oblicz jeszcze wartości \(\displaystyle{ w(-2)}\) oraz \(\displaystyle{ w(2)}\) (potrzebny Ci będzie ich znak).

Twierdzenie Sturma się kłania

\(\displaystyle{ w(2)=1}\)
\(\displaystyle{ w(-2)=-7}\)
\(\displaystyle{ w(\frac{1-\sqrt{7}}{3})}\) to ok \(\displaystyle{ -0.22}\)
\(\displaystyle{ w(\frac{1+\sqrt{7}}{3})}\) to ok \(\displaystyle{ -1.11}\)
\(\displaystyle{ -2<\frac{1-\sqrt{7}}{3}<\frac{1+\sqrt{7}}{3}<2}\)

czyli w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{1-\sqrt{7}}{3}, \frac{1+\sqrt{7}}{3}\right)}\) funkcja jest malejąca i nie przecina osi \(\displaystyle{ Ox}\). w przedziale\(\displaystyle{ (-2,\frac{1-\sqrt{7}}{3})}\) także nie bo \(\displaystyle{ w(-2)=-7}\). Natomiast w przedziale \(\displaystyle{ (\frac{1+\sqrt{7}}{3},2)}\) musi oś \(\displaystyle{ Ox}\) przeciąć tylko raz.

Tylko problem jest taki, że jest to zadanie za 1 punkt z matury i czy przypadkiem jak na zadanie za 1 pkt nie jest zbyt złożone. A może istnieje jakimś cudem prostsze rozwiązanie.

Może na wykresach \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\) oraz \(\displaystyle{ g(x) = x^2 + 2x - 1}\)

Coś nie tak z tym rozumowaniem, przecież np. \(\displaystyle{ w(-2)=-7}\), jak sam stwierdziłeś, tymczasem \(\displaystyle{ w(0)=1}\), więc z Darboux w przedziale \(\displaystyle{ (-2,0)}\) jest miejsce zerowe wielomianu \(\displaystyle{ w}\).

czyli w przedziale\(\displaystyle{ \left( \frac{1-\sqrt{7}}{3}, \frac{1+\sqrt{7}}{3}\right)}\) funkcja jest malejąca i nie przecina osi \(\displaystyle{ Ox}\).

Nieprawda. Przecina \(\displaystyle{ OX}\) w dokładnie jednym punkcie z tego przedziału.

Prostsze rozwiązanie: wielomian stopnia \(\displaystyle{ 3}\) ma od jednego do trzech pierwiastków w \(\displaystyle{ \RR}\).
Widzimy, że \(\displaystyle{ w(-2)=-7, \ w(-1)=1, \ w(1)=-1, \ w(2)=1}\)
Zatem z tw. Darboux wielomian w ma co najmniej jeden pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (-2,-1)}\), co najmniej jeden pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\) oraz co najmniej jeden pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (1,2)}\), łącznie więc w przedziale \(\displaystyle{ (-2,2)}\) wielomian w ma co najmniej trzy pierwiastki, a więcej niż trzech mieć nie może (bo jest wielomianem trzeciego stopnia), zatem ma dokładnie trzy.

\(\displaystyle{ w \left( \frac{1-\sqrt{7}}{3} \right) = 1,64}\). Wówczas przecina \(\displaystyle{ Ox}\) w 3 miejscach

Tak, właśnie (tak naprawdę to jest przybliżony wynik z tym \(\displaystyle{ 1,64,}\) ale to nieistotne, liczy się znak).

A tak w ogóle to jak piszesz przybliżenie w Texu?

Zwykle nie piszę, gdyż nie mam takiej potrzeby.
\(\displaystyle{ x \approx 1,64}\)
approx

Premislav pisze: Prostsze rozwiązanie: wielomian stopnia \(\displaystyle{ 3}\) ma od jednego do trzech pierwiastków w \(\displaystyle{ \RR}\).
Widzimy, że \(\displaystyle{ w(-2)=-7, \ w(-1)=1, \ w(1)=-1, \ w(2)=1}\)
Zatem z tw. Darboux wielomian w ma co najmniej jeden pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (-2,-1)}\), co najmniej jeden pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\) oraz co najmniej jeden pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (1,2)}\), łącznie więc w przedziale \(\displaystyle{ (-2,2)}\) wielomian w ma co najmniej trzy pierwiastki, a więcej niż trzech mieć nie może (bo jest wielomianem trzeciego stopnia), zatem ma dokładnie trzy.

I tak autor na przyszłość powinien zabierać się za coś takiego na maturze, to jedyna metoda by zmieścić się w jakimś sensownym czasie, takie zadania robi się właśnie z wł. Darboux podstawiając po kolei całkowite liczby z tego przedziału i wychodzi bo tak układają te zad za 1pkt. Jak zaczniesz się zagłębiać w pochodną to "przepadniesz".

Premislav pisze:Pochodna tego wielomianu wynosi \(\displaystyle{ 3x^2-2x-2=3\left( x-\frac 1 3\right)^2-\frac 7 3}\), rozważ kiedy jest ona dodatnia (wtedy funkcja rośnie), a kiedy ujemna (wtedy funkcja maleje).
Zdaje się, że maleje dla \(\displaystyle{ x \in\left( \frac{1-\sqrt{7}}{3}, \frac{1+\sqrt{7}}{3}\right)}\), ale mogłem się rąbnąć w obliczeniach.
Ponadto \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} w(x)=-\infty, \ \lim_{x \to +\infty}w(x)=+\infty}\) (jak to bywa z wielomianami nieparzystego stopnia). Sprawdź wartości \(\displaystyle{ w(x)}\) w punktach \(\displaystyle{ \frac{1\pm\sqrt{7}}{3}}\), a dalej skorzystaj z tw. Darboux (funkcja ciągła ma własność Darboux).

-- 20 kwi 2018, o 14:45 --

Aha, i jeszcze oszacuj/oblicz, jak się mają liczby \(\displaystyle{ \frac{1\pm\sqrt{7}}{3}}\) do \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 2}\). Jeśli obie wpadają do przedziału \(\displaystyle{ (-2,2)}\), to oblicz jeszcze wartości \(\displaystyle{ w(-2)}\) oraz \(\displaystyle{ w(2)}\) (potrzebny Ci będzie ich znak).

>To naprwde bylo zadanie za jeden punkt? I czy to jest proste rozwiazanie?

Nigdy nie twierdziłem, że to jest proste rozwiązanie. Cechuje mnie bardzo niski poziom inteligencji kognitywnej (pewnie na granicy upośledzenia), dlatego też często na pierwszy rzut oka nie widzę prostych rozwiązań (nie wiedziałem też od początku, że to zadanie za jeden punkt z matury, ta informacja zaistniała w wątku później). Podałem przecież później prostsze rozwiązanie z użyciem tw. Darboux, o tutaj (zacytuję samego siebie jak każdy buc):

Premislav pisze:Prostsze rozwiązanie: wielomian stopnia \(\displaystyle{ 3}\) ma od jednego do trzech pierwiastków w \(\displaystyle{ \RR}\).
Widzimy, że \(\displaystyle{ w(-2)=-7, \ w(-1)=1, \ w(1)=-1, \ w(2)=1}\)
Zatem z tw. Darboux wielomian w ma co najmniej jeden pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (-2,-1)}\), co najmniej jeden pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\) oraz co najmniej jeden pierwiastek w przedziale \(\displaystyle{ (1,2)}\), łącznie więc w przedziale \(\displaystyle{ (-2,2)}\) wielomian w ma co najmniej trzy pierwiastki, a więcej niż trzech mieć nie może (bo jest wielomianem trzeciego stopnia), zatem ma dokładnie trzy.

-- 22 kwi 2018, o 11:38 --

To, co mnie jednakoż bardzo uwiera w takim rozwiązaniu, to fakt, że punkty \(\displaystyle{ -2, \ -1, \ 1, \ 2}\) są z kapelusza wzięte, za ich wyborem nie stoi żadne rozumowanie poza tym, że dwa to krańce naszego przedziału, a dwa pozostałe to liczby całkowite, więc łatwo dla nich podstawić. Uważam, że matematyka nie polega na takim zgadywaniu (choć nie twierdzę, że doskonale rozumiem, na czym polega). Ale to jest ogólniejszy problem idiotyzmu zadań maturalnych.

Tu się z Premislavem zgodzić muszę, bo branie wartości z kapelusza to nie jest najlepsza metoda (przede wszystkim dlatego, że nie niesie za sobą żadnej uniwersalnej idei.

Niemniej jednak ja mam takie zboczenie, że gdy widzę zadanie z wielomianem, to tak na dzień dobry liczę jego wartość w zerze i w jedynce. A w tym przypadku to akurat wystarcza do rozwiązania zadania

Jeżeli ma to jakiekolwiek znaczenie, to sądzę, że w przypadku zadań maturalnych, które w założeniu mają sprawdzać jedynie stopień opanowania materiału z zakresu programu nauczania (a więc takich, gdzie do rozwiązania wystarczą pewne zdolności odtwórcze), wybór problemów polegających na zgadywaniu nie jest najszczęśliwszym z wyborów. A to tylko dlatego, że takie problemy faworyzują (choć nie powinny faworyzować nikogo) osoby kreatywne, które nie boją się wyjść poza ramy szkolnej urawniłowki. I to tyle na nie.
Uważam, że spostrzegawczość pomaga w uprawianiu matematyki, w tworzeniu matematyki. Taką spostrzegawczość można do pewnego stopnia wytrenować, nie sądzę jednakże, żeby zwykły program nauczania skupiał się na tym w jakimkolwiek stopniu.
Myślę też, że właśnie zauważanie, że... przyczyniło się do powstania niejednej pięknej idei i do błyskotliwego rozwiązania niejednego trudnego (być może w słowie niestandardowy jest coś na rzeczy...) problemu. Że kombinowanie, sprawdzane (czasem na chybił trafił) tzw. małych przypadków, różnego rodzaju educated guesses, to narzędzia nie do przecenienia, chociażby przy konstruowaniu kontrprzykładów. Że, jakkolwiek to zabrzmi, gdy rozwiązanie trzeba skroić na miarę, lepszy będzie artysta niż rzemieślnik.
Nie forsuję tezy, że zgadywanie jest eleganckie. Twierdzę natomiast, że ja z pewnością nie pogardziłabym choć odrobinę lepszą intuicją i z pewnością nie wahałabym się z niej korzystać.
Matematyka powstała, nie wiedząc na szczęście, że robi to niezgodnie z dzisiejszymi standardami, w dużej mierze dzięki iskrze bożej jej twórców. I chwała za to im i jej.