Matematyka.pl

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć poniższą treść książki:
"It is not possible, however, to have more than one but less than infinitely many solutions for a particular \(\displaystyle{ b}\); if both \(\displaystyle{ x}\) and \(\displaystyle{ y}\) are solutions, then
\(\displaystyle{ z = \alpha x + (1 -\alpha)y}\)
is also a solution for any real \(\displaystyle{ \alpha}\)"

Mówimy tutaj o równaniu \(\displaystyle{ Ax = b}\).

Pytanie jest o to, czy układ liniowy może mieć więcej niż jedno, ale mniej niż nieskończenie wiele rozwiązań. Taka sytuacje jest niemożliwa. Można to sobie wyobrazić na przykład układ dwóch równań liniowych, które interpretujesz jako dwie proste. Proste te mogą być równoległe (\(\displaystyle{ 0}\) rozwiązań), mogą przecinać się (\(\displaystyle{ 1}\) rozwiązanie) albo mogą leżeń na sobie (\(\displaystyle{ \infty}\) wiele rozwiązań). Podobnie sytuacje wygląda z płaszczyznami itd.

Równanie takie może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie miec żadnego to jest oczywiste.

Ale nie rozumiem co takiego oznacza i skąd się wzięło zapisane równanie: \(\displaystyle{ z = \alpha x + (1 -\alpha)y}\) .
Tutaj abstrahując czy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) moga być różnymi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ Ax = b}\).

Załóż sobie, że \(\displaystyle{ Ax=b}\) i \(\displaystyle{ Ay=b}\).
Ile to jest \(\displaystyle{ A(\alpha x+(1-\alpha)y)}\)?

Próbowałem juz wcześniej w taki sposób sobie rozpisywać, ale nie mogłem niczego wywnioskować.
A lewa strona równania: \(\displaystyle{ z}\) co oznacza? Macierz zerową?

Wiesz to to znaczy, że \(\displaystyle{ A}\) jest operatorem liniowym?

Nie, nigdy nie spotkałem się aby macierz była operatorem.

Dobra: masz zatem układ równań liniowych
\(\displaystyle{ a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\
\vdots\\
a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n=b_m}\)
co zapisujesz \(\displaystyle{ Ax=b}\). Tutaj \(\displaystyle{ x=[x_1,\dots,x_n]^T}\)

Weż drugie rozwiązanie
\(\displaystyle{ a_{11}y_1+\dots+a_{1n}y_n=b_1\\
\vdots\\
a_{m1}y_1+\dots+a_{mn}y_n=b_m}\)
co zapisujesz \(\displaystyle{ Ax=b}\)
Czyli \(\displaystyle{ Ay=b}\), gdzie \(\displaystyle{ y=[y_1,\dots,y_n]^T}\)

Spróbuj pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha\in \RR}\) macierz \(\displaystyle{ z=\alpha x+(1-\alpha) y}\) jest rozwiązaniem

Spróbuj pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha\in \RR}\) macierz \(\displaystyle{ z=\alpha x+(1-\alpha) y}\) jest rozwiązaniem

Przecież ja właśnie proszę o poradę jak to zrobić, na tym polega mój post...

To trzeba napisać na kawałku papieru. Wtedy to zobaczysz

Już to sobie rozpisywałem i nic nie zauwazyłem, dlatego proszę o poradę...