Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A=\left\{ (x,y,z) \in \RR^3 : 0<x^2+y^2<1,0<z<2\right\}}\). Wykazać, że granica
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{A}^{} \frac{z}{n} \ln ((x^2+y^2)^n+(x^2+y^2)^{-n}) \mbox{d}\lambda_3(x,y,z)}\)


istnieje i obliczyć ją.

Tu prawdopodobnie trzeba to zmajoryzować, ale przez co? I ile wyniesie granica funkcji podcałkowej?

Tak, też bym to robił z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej.
Skoro \(\displaystyle{ x^2+y^2<1}\) i \(\displaystyle{ z>0}\) oraz funkcja logarytmiczna jest rosnąca, to można oszacować:
\(\displaystyle{ \frac{z}{n} \ln ((x^2+y^2)^n+(x^2+y^2)^{-n}) \le\frac z n \ln \left( (x^2+y^2)^{-n}+(x^2+y^2)^{-n}\right) =\\= \frac{z}{n}\ln 2 -z\ln(x^2+y^2)\le z\ln 2-z\ln(x^2+y^2)}\)
a całkowalność \(\displaystyle{ z\ln 2-z\ln(x^2+y^2)}\) to raczej prosta sprawa.

No to jak z tym się uporasz (całkę z tej ostatniej funkcji możesz po prostu przeliczyć przechodząc na współrzędne walcowe), to wchodzisz z granicą pod całkę.

Pierwsza rzecz, całka jest określona bo wyrażenie pod logarytmem jest \(\displaystyle{ \geq 2}\)
Druga, \(\displaystyle{ x=r\cos\theta, y=r\sin\theta}\) i Jakobian \(\displaystyle{ r}\)
I mamy \(\displaystyle{ \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^1\int\limits_0^2 \frac{z}{n}\ln(r^{2n}+r^{-2n})r dz dr d\theta = 4\pi \int\limits_0^1 r\frac{ln(r^{2n}+r^{-2n})}{n} dr}\)
\(\displaystyle{ r\frac{\ln(r^{2n}+r^{-2n})}{n} \leq 2r\ln(r+r^{-1})}\)
No i to już jest tam całkowalne, więc możemy przenieść granicę pod całkę, z twierdzenia
Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej.
\(\displaystyle{ 4\pi\int\limits_0^1 -2r\ln(r) dr = 2\pi}\)
Mam nadzieję że wszystko jest w porządku, bo nie jestem pewien
Fajnie gdyby ktoś sprawdził.

Jest OK.

Dziękuję i Pozdrawiam