Równanie różniczkowe I rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
AvaPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 13 lut 2016, o 19:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnica
Podziękował: 12 razy

Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: AvaPL » 17 kwie 2018, o 22:35

Witam.

Ćwicząc równania różniczkowe natknąłem się na takie zadanie w zbiorze:
Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera 0,5 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa
czysta woda z prędkością 20 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 40 litrów na
minutę. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i
rozpuszczania soli jest natychmiastowy.


Czy mógłby mnie ktoś naprowadzić jak tu ułożyć w ogóle równanie? Z góry dziękuję.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: janusz47 » 18 kwie 2018, o 22:13

Objętość \(\displaystyle{ V}\) roztworu soli w zbiorniku w zależności od czasu \(\displaystyle{ t}\)

\(\displaystyle{ v(t) = 400 - ( 20 - 40) t = 400 -20t.}\)

\(\displaystyle{ x(t)}\)- ilość soli w chwili \(\displaystyle{ t.}\)

Szybkość zmian ilości soli:

\(\displaystyle{ x'(t) = 0 - \frac{x(t) \cdot 40 }{400 - 20 t}.}\)(1)

Przy warunku początkowym:

\(\displaystyle{ x(0) = 400\cdot 0,005 = 2.}\) (2)


Rozwiązanie problemu Cauchy (1),(2) :

\(\displaystyle{ \int \frac{x'(t)}{x(t)}dt = 2\int \frac{dt}{t-20}}\)

\(\displaystyle{ \ln[x(t)] = \ln(t-20)^2 + \ln(C)}\)

\(\displaystyle{ x(t) = C(t - 20)^2}\)

\(\displaystyle{ 2 = C(0 - 20)^2, \ \ C = \frac{2}{400}= \frac{1}{200}.}\)

\(\displaystyle{ x(t) = \frac{(t - 20)^2}{200}.}\)

ODPOWIEDZ