Znaleźć wszystkie funkcje różniczkowalne.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1067
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 264 razy
Pomógł: 34 razy

Znaleźć wszystkie funkcje różniczkowalne.

Post autor: pawlo392 » 17 kwie 2018, o 16:27

Niech \(\displaystyle{ a>0}\). Znaleźć wszystkie funkcje różniczkowalne \(\displaystyle{ f:(0,a] \rightarrow \mathbb{R}}\) R o tej własności, że odcinek dowolnej prostej stycznej do wykresu takiej funkcji o końcach w punkcie styczności i na osi \(\displaystyle{ OY}\) ma długość \(\displaystyle{ a}\).
Pisząc równanie stycznej \(\displaystyle{ y-y_0=y_0'(x-x_0)}\) wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{x_0^2+(y_0-y)^2}=a}\). Co dalej? podejrzewam, że coś wyliczyć i wstawić.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7592
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 3000 razy

Znaleźć wszystkie funkcje różniczkowalne.

Post autor: kerajs » 19 kwie 2018, o 08:39

pawlo392 pisze: Pisząc równanie stycznej \(\displaystyle{ y-y_0=y_0'(x-x_0)}\) wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{x_0^2+(y_0-y)^2}=a}\). Co dalej? podejrzewam, że coś wyliczyć i wstawić.
Raczej:
\(\displaystyle{ \sqrt{(0-x_0)^2+(y'(x_0)x_0+y_0-y_0)^2}=a}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x_0^2+(y'(x_0) \cdot x_0)^2}=a}\)
Pozostaje wyliczyć pochodną i rozwiązać równanie różniczkowe (albo i dwa)

ODPOWIEDZ