Matematyka.pl

Witam serdecznie,
mam problem z ciągiem funkcyjnym postaci \(\displaystyle{ f_{n}(x)=\left(\minuso-1\right)^{n}n\,\sin\left(\pi\sqrt{x^{2}+n^{2}}\right)}\). Zbadałem jego zbieżność punktową, wynosi ona \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}x^{2}}\).

Mam teraz problem z jednostajną zbieżnością. Moja intuicja podpowiada, że nie będzie on jednostajnie zbieżny, jednak nie potrafię tego pokazać. Zapewne "źle będzie się z nim działo" w nieskończoności, ale nie potrafię dobrać tak ciągów, aby mieć coś sensownego. Macie jakieś propozycje?

Zastanawiam się (to oczywiście nie jest uwaga do Ciebie), po co dawać takie zadania.
Granica punktowa OK.


Natomiast brak zbieżności jednostajnej chyba jest prostą sprawą, weźmy
\(\displaystyle{ x=n}\), wówczas \(\displaystyle{ \left| f_n(x)- \frac{\pi}{2} x^2\right| = \frac{\pi n^2}{2}}\), czyli
nie może zachodzić
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \sup_{x \in \RR}\left| f_n(x)- \frac{\pi}{2} x^2\right| \right) =0}\)
a ten warunek jest równoważny zbieżności jednostajnej tego ciągu funkcyjnego do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}x^2.}\)

Wielkie dzięki za odpowiedź, już sobie poradziłem. Pewne błędy nie pozwoliły mi zauważyć, że na najprostszym ciągu "psuje" się jednostajna zbieżność.

Małe niedopatrzenie, praktycznie nieszkodliwe.
\(\displaystyle{ x=n}\) nie jest najlepszym podstawieniem, \(\displaystyle{ x = \sqrt{3}n}\) jest lepsze
Jak je zastąpimy to będzie ok

Racja, dzięki za uwagę. No krótko mówiąc chodzi o to, by ten sinus się zerował, a źle policzyłem, kiedy to następuje, ponieważ nie umiem dodawać.