Operator liniowy.

[Roudin]

Mam jedno zadanie z operatorem liniowym. Nie wiem jak się za to zabrać.
a) Pokazać, że \(\displaystyle{ A:C[0,1] \rightarrow C[0,1], (Ax)(t)=5 \cdot x(0)+8 \sqrt[5]{t} \cdot x(1)}\) jest operatorem liniowym ograniczonym i znaleźć jego normę.
b) Pokazać, że liczba \(\displaystyle{ \lambda =3}\) jest wartością regularną operatora \(\displaystyle{ A}\).
c) Wyznaczyć widmo operatora \(\displaystyle{ A}\).

\(\displaystyle{ C[a,b]}\)- przestrzeń funkcji ciągłych na \(\displaystyle{ [a,b], ||x||=\sup |x(t)|, t\in[a,b]}\)

[bartek118]

a)
\(\displaystyle{ \|Ax\| = \sup_{t \in [0,1]} 5x(0) + 8 \sqrt[5]{t} x(1) \leq 5x(0) + 8x(1) \leq 13 \| x \|,}\)
gdzie \(\displaystyle{ \| \cdot \|}\) to norma na \(\displaystyle{ C[0,1]}\).
Samodzielnie sprawdź, czy \(\displaystyle{ 13}\) jest optymalna.

b) Wiesz, co to znaczy, że \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością regularną?

c) Wiesz, czym jest widmo?

[Roudin]

b) Z tego co zrozumiałem to \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością regularną jeżeli istnieje \(\displaystyle{ A-\lambda \cdot I}\) gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest jedynką w przestrzeni. Nie bardzo rozumiem jak to zrobić.
c) \(\displaystyle{ \sigma _{A}(a)=\{\lambda \in \mathbb {C} \colon \lambda \cdot I-A \notin {\mbox{GL}}(A)\}}\)
Z tego co rozumiem to Widmem jest zbiór tych lambd dla których \(\displaystyle{ \lambda \cdot I-A}\) nie są odwracalne. Czyli \(\displaystyle{ \lambda \cdot I -A=0}\)

[bartek118]

b) Z tego co zrozumiałem to \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością regularną jeżeli istnieje \(\displaystyle{ A-\lambda \cdot I}\) gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest jedynką w przestrzeni. Nie bardzo rozumiem jak to zrobić.

No nie bardzo. \(\displaystyle{ A-\lambda \cdot I}\) istnieje zawsze; trochę inaczej to było.

c) \(\displaystyle{ \sigma _{A}(a)=\{\lambda \in \mathbb {C} \colon \lambda \cdot I-A \notin {\mbox{GL}}(A)\}}\)
Z tego co rozumiem to Widmem jest zbiór tych lambd dla których \(\displaystyle{ \lambda \cdot I-A}\) nie są odwracalne.

To jest OK. Zapisz, jak wygląda taki operator i spróbuj znaleźć jego odwrotny.

Czyli \(\displaystyle{ \lambda \cdot I -A=0}\)

To już nie.