Matematyka.pl

Witam. Muszę wyznaczyć przedziały zbieżności szeregu potęgowego
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(x-1) ^{n} }{ne ^{n} }}\)
Robię to tak:
Liczę zbieżność z kryterium Cauchy'ego i wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{x-1}{e}}\)
Przyrównuję to w poniższy sposób
\(\displaystyle{ \frac{|x-1|}{e} <1}\)
\(\displaystyle{ |x-1|<e}\)
\(\displaystyle{ x<e+1}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) i \(\displaystyle{ -x+1<e}\) dla \(\displaystyle{ x<1}\)
co zapisuję jako \(\displaystyle{ -e+1<x<e+1}\)
liczę granicę z kryterium Cauchy'ego szeregu gdzie w miejsce x podstawiam \(\displaystyle{ -e+1}\) i wychodzi \(\displaystyle{ -1}\) czyli zbieżny
liczę w ten sam sposób granicę w punkcie \(\displaystyle{ e+1}\) i wychodzi \(\displaystyle{ 1}\), a więc nie da się określić
przedział zbieżności zapisuję\(\displaystyle{ x \in [-e+1;e+1)}\)
Czy to jest dobrze?

Popraw Latexa (wzory muszą być w tagach [tex]....[/tex]

Prawie dobrze:
Jak stosujesz kryterium Cauchy'ego? bo wynik \(\displaystyle{ \frac{x-1}{e}}\) wygląda dziwnie

\(\displaystyle{ -1}\) w kryterium Cauchy'ego nie ma prawa wyjść. A jak wychodzi \(\displaystyle{ 1}\), to musisz użyć innych narzędzi, żeby rozstrzygnąć zbieżność.
Ponieważ tego nie zrobiłeś, wnioski o zachowaniu szeregu na końcach przedziału są nieuprawnione.

Zabawne jest wnioskowanie: nie da się określić, więc na wszelki wypadek wstawię przedział otwarty

Zjadłeś moduł.

Rzeczywiście. Po uwzględnieniu modułu wychodzi 1.
Czyli nie da się stwierdzić czy zbieżna. Więc jak to rozwiązać?

Jeżeli \(\displaystyle{ \frac{x-1}{e}=1}\), tj. \(\displaystyle{ x=e+1}\), to po podstawieniu masz rozbieżny szereg
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac 1 n}\), natomiast jeżeli \(\displaystyle{ \frac{x-1}{e}=-1}\), czyli \(\displaystyle{ x=1-e}\), to otrzymujesz po podstawieniu szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{(-1)^n}{n}}\), który jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza.-- 14 kwi 2018, o 18:23 --Zatem ostatecznie szereg ten jest zbieżny dla \(\displaystyle{ xin [1-e, 1+e)}\).

Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=e+1}\) wyszło mi to samo teraz. Miałem błąd w obliczeniach.
Dzięki za pomoc.