Matematyka.pl

Jest dana funkcja \(\displaystyle{ f:[0,1] \rightarrow \RR}\) o wartościach:
\(\displaystyle{ -a/1}\) na jednym \(\displaystyle{ (9^0)}\) odcinku długości \(\displaystyle{ q}\)
\(\displaystyle{ a^2/2}\) na \(\displaystyle{ (9^1)}\) odcinkach długości \(\displaystyle{ (1-q)q}\)
\(\displaystyle{ -a^3/3}\) na \(\displaystyle{ (9^2)}\) odcinkach długości \(\displaystyle{ (1-q)^2q}\)
\(\displaystyle{ a^4/4}\) na \(\displaystyle{ (9^3)}\) odcinkach długości \(\displaystyle{ (1-q)^3q}\)
itd.
Dla jakich wartości \(\displaystyle{ a>0}\) taka \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna na \(\displaystyle{ [0,1]}\)?

Jak to ugryźć? Jaki warunek musi być spełniony?

Funkcja jest całkowalna wtedy, gdy całka z jej części dodatniej i ujemnej jest skończona

Cześć dodatnia to jak rozumiem jest tam, gdzie funkcja jest dodatnia?

No to tak, część dodatnia wynosi:
\(\displaystyle{ 9a^2/2(1-q)q+9^3a^4/4(1-q)^3g+...+9^na^{n+1}/(n+1)(1-q)^nq=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=1}^{\infty}9^{2n-1}a^{2n}/(2n)(1-q)^{2n-1}q= \frac{q}{18(1-q)} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(9a(1-q))^n}{n}}\), a to jest zbieżne gdy, \(\displaystyle{ -1 \le 9a(1-q))<1}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ a in left[- frac{1}{9(1-q)}, frac{1}{9(1-q)}
ight)}\). Trzeba jeszcze rozpatrzyć przypadek, gdy \(\displaystyle{ q=1}\), ale wtedy łatwo widać, że \(\displaystyle{ a}\) może być dowolne.

Część ujemna:
\(\displaystyle{ -aq-9^2a^3/3(1-q)^2q-q^4a^5/5(1-q)^2q+...= \sum_{n=1}^{\infty}-9^{2n-2} \frac{a^{2n-1}}{2n-1}(1-q)^{2n-2}q=}\)
\(\displaystyle{ -\frac{q}{81a(1-q)^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(9a(1-q))^{2n}}{2n-1}}\), a ten szereg jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ (9a(1-q))^2<1}\) czyli \(\displaystyle{ a \in \left( -\frac{1}{q(1-q)},\frac{1}{q(1-q)} \right)}\).

No i trzeba z tego wziąć część wspólną czyli ostatecznie \(\displaystyle{ a \in \left(-\frac{1}{q(1-q)},\frac{1}{q(1-q)} \right)}\).

Tak jest dobrze?