Matematyka.pl

Witam, mam problem z następującym zadaniem

W okrąg o równaniu \(\displaystyle{ (x-2)^{2}+(y-1) ^{2}=5}\) jest wpisany trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), którego bok \(\displaystyle{ AB}\) zawarty jest w prostej o równaniu \(\displaystyle{ x-2y=0}\). Pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest równe \(\displaystyle{ 5}\). Wyznacz współrzędne punktu \(\displaystyle{ C.}\)

Wyznaczyłem środek okręgu \(\displaystyle{ (2,1)}\) oraz wzór prostej \(\displaystyle{ y=\frac{x}{2}}\).
Wiem jeszcze że współrzędne \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to miejsca przecięcia okręgu z prostą, ale nie wiem jak je obliczyć.

Proszę o pomoc jak rozwiązać to zadanie

Mati0s pisze:Wiem jeszcze że współrzędne \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to miejsca przecięcia okręgu z prostą, ale nie wiem jak je obliczyć.

Rozwiązać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}(x-2)^{2}+(y-1) ^{2}=5 \\ x-2y=0. \end{cases}}\)

JK

Punkt \(\displaystyle{ A}\) wyszedł \(\displaystyle{ (0,0)}\) a \(\displaystyle{ B=(4,2)}\).
tylko myślę, że te współrzędne nie są chyba potrzebne, ponieważ długość \(\displaystyle{ AB}\) jest to długość dwóch promieni czyli \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\)

Jakiś pomysł żeby wyliczyć punkt \(\displaystyle{ C}\)?

Mati0s pisze:Punkt \(\displaystyle{ A}\) wyszedł \(\displaystyle{ (0,0)}\) a \(\displaystyle{ B=(4,2)}\).
tylko myślę, że te współrzędne nie są chyba potrzebne, ponieważ długość \(\displaystyle{ AB}\) jest to długość dwóch promieni czyli \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\)

Nie twierdziłem, że są - odpowiedziałem na pytanie...

Mati0s pisze:Jakiś pomysł żeby wyliczyć punkt \(\displaystyle{ C}\)?

W tym zadaniu akurat wystarczy trochę sprytu. Jak można zauważyć, bok \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą okręgu. Żeby pole trójkąta wyniosło \(\displaystyle{ 5}\), jego wysokość musi wynieść dokładnie \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), czyli wysokość musi być równa promieniowi. Jak nietrudno zauważyć, dwa punkty na okręgu będą dobre i oba leżą na prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ AB}\) przechodzącej przez środek okręgu.

JK

Jan Kraszewski pisze:
W tym zadaniu akurat wystarczy trochę sprytu. Jak można zauważyć, bok \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą okręgu. Żeby pole trójkąta wyniosło \(\displaystyle{ 5}\), jego wysokość musi wynieść dokładnie \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), czyli wysokość musi być równa promieniowi.
JK

Jeżeli \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą czyli musi ona wynosić \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\) ponieważ \(\displaystyle{ r}\) kest równe \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\). Jeśli tak to wysokość musi być równa \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)


Jak teraz wyznaczyć punkt C?

Mati0s pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą czyli musi ona wynosić \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\) ponieważ \(\displaystyle{ r}\) kest równe \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\). Jeśli tak to wysokość musi być równa \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)

Nieprawda. Pole to \(\displaystyle{ P=\frac12|AB|\cdot h=\frac12\cdot 2 \sqrt{5}\cdot h=\sqrt{5}\cdot h}\). Skoro \(\displaystyle{ P=5}\), to \(\displaystyle{ h= \sqrt{5}}\), czyli \(\displaystyle{ h=r}\).

Mati0s pisze:Jak teraz wyznaczyć punkt C?

No przecież Ci napisałem.

Jan Kraszewski pisze:Jak nietrudno zauważyć, dwa punkty na okręgu będą dobre i oba leżą na prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ AB}\) przechodzącej przez środek okręgu.

Narysuj może to sobie, wyobraź...

JK

Mi wyszło \(\displaystyle{ C=(3;-1)}\) lub \(\displaystyle{ (1;3)}\) chętnie bym się przekonał czy to poprawna odpowiedź

Tak.

JK