Matematyka.pl

Mamy trójkąt równoramienny w który został wpisany prostokąt. Podstawa trójkąta ma długość \(\displaystyle{ 6}\) , a boki mają długość \(\displaystyle{ 5}\) i bok prostokąta zawiera się w podstawie trójkąta. Jakie muszą być wymiary prostokąta, aby miał on największe pole. Wiem, że prostokąt, który ma największe pole to kwadrat i z twierdzenia Talesa mam, że bok tego prostokąta równoległy do podstawy trójkąta ma długość \(\displaystyle{ \frac{6x}{5}}\) jeżeli oznaczę sobie przez \(\displaystyle{ x}\) bok trójkąta o podstawie boku prostokąta. Próbowałem z twierdzeniem cosinusów i nie wychodzi. Jakieś wskazówki ?

Od początku. Podstawa prostokąta \(\displaystyle{ x}\) leży na podstawie trójkąta. Pozostałe dwa wierzchołki prostokąta leżą na ramionach trójkąta. Wysokość trójkąta (tw.Pitagorasa) ma długość \(\displaystyle{ 4}\).
Prostokąt wycina w trójkącie u góry trójkąt równoramienny, podobny do wyjściowego. Jego podstawa to \(\displaystyle{ x}\) a wysokość \(\displaystyle{ \frac{2}{3}x}\) (z podobieństwa trójkątów). Drugi bok prostokąta ma więc długość \(\displaystyle{ 4- \frac{2}{3}x}\). Jaka funkcja opisuje pole prostokąta i dla jakiego \(\displaystyle{ x}\) to pole jest maksymalne?

Ok Dziękuję