Matematyka.pl

Witam, jak sprytnie rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \cos (x)\cos (4x)\cos (2x)= \frac{1}{8}}\)?
Przerobiłam to wzorem na \(\displaystyle{ \cos (2 \alpha )}\), ale to dało mi \(\displaystyle{ 16t^7-24t^5+10t^3-t- \frac{1}{8}}\), gdzie \(\displaystyle{ t=\cos (x)}\). Po tej \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) domyśliłam się, że jednym z pierwiastków będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i to się zgadza, ale dalszy schemat Hornera nie jest możliwy, bo nie ma już pierwiastków wymiernych, wobec tego jak zrobić to inaczej?

\(\displaystyle{ \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x = \frac{8\sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x}{8\sin x} = \frac{\sin 8x}{8\sin x}}\)
(zwijamy kolejno do wzoru na sinus kąta podwojonego)

Przypadek gdy \(\displaystyle{ \sin x =0}\) należy rozważyć osobno!!!

Stąd równanie (dla \(\displaystyle{ \sin x \neq 0}\) można zapisać jako
\(\displaystyle{ \sin 8x = \sin x}\)

Ufam, że z tym sobie już poradzisz

Można to równanie zwinąć do takiego:
\(\displaystyle{ \frac{\sin(8x)}{\sin(x)} = 1}\)