Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a \in \RR}\) funkcja
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} a&\text{dla } x \in \QQ\\ x^{2}+ax+a &\text{dla } x \in \RR\setminus \QQ \end{cases}}\)
jest różniczkowalna przynajmniej w jednym punkcie?

Zbadajmy istnienie granicy \(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(x)}\)
Jeśli w definicji Heine'go wybierzemy ciąg liczb wymiernych, to oczywiście widzimy że musi być
\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(x) = a}\)
Z drugiej strony, jeśli wybierzemy ciąg liczb niewymiernych,
\(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(x) = x_0^2+ax_0+a}\)
Zatem \(\displaystyle{ x_0^2+ax_0+a = a \implies x_0=0 \vee x_0=-a}\)
Jeśli poszczególne granice są sobie równe, to oczywiście, sama granica też istnieje
Żeby funkcja była ciągła dla \(\displaystyle{ x_0=0}\), musi być \(\displaystyle{ a=0}\), dla
drugiego przypadku zawsze jest ciągła
Możemy więc rozpatrywać jedynie \(\displaystyle{ x_0 = -a}\), wtedy mamy, znowu po wymiernych
\(\displaystyle{ f'(-a) = \lim_{x \to -a} \frac{f(x)-f(-a)}{x+a} = \lim_{x \to -a} \frac{a-a}{x+a} = 0}\)
I po niewymiernych
\(\displaystyle{ f'(-a) = \lim_{x \to -a} \frac{f(x)-f(-a)}{x+a} = \lim_{x \to -a} \frac{x^2+ax}{x+a} =\lim_{x \to -a} x = -a}\)
Wychodzi na to że funkcja jest różniczkowalna tylko gdy \(\displaystyle{ a=0}\), w punkcie \(\displaystyle{ x_0=0}\)