Matematyka.pl

Witam,

Po długim czasie bez matematyki sporo już się zapomniało z analizy. Poniższe stwierdzenie (może oczywiste) znalazłem bez dowodu w książce, którą ostanio czytałem:

Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}}\) będzie funkcją całkowalną spełniającą warunek:
\(\displaystyle{ f(x+2\pi)=f(x)}\)
Oznaczmy ciąg \(\displaystyle{ c_{n}}\) jako
\(\displaystyle{ c_{n}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}f(x)e^{-inx}dx}\)
Pokazać, że
\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{n}\frac{e^{inx}}{\sqrt{2\pi}}}\)

Pozdr

Weźmy dwie funkcje całkowalne w sensie Riemanna, ciągłą \(\displaystyle{ f}\) i funkcję \(\displaystyle{ g}\) taką że
\(\displaystyle{ g(x)=f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \neq \dots, -2\pi, 0, 2\pi, \dots}\) i \(\displaystyle{ g(x) \neq f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x = \dots, -2\pi, 0, 2\pi, \dots}\)
Wtedy teza jest fałszywa
Prawdopodobnie chodziło o równość prawie wszędzie

Wtedy to też nie jest prawda: Kołmogorow skonstruował całkowalną funkcję, której szereg Fouriera jest wszędzie rozbieżny. Jeśli założymy, że wyjściowa funkcja \(\displaystyle{ f}\) należy do \(\displaystyle{ L^{p}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ p>1}\), to wtedy szereg jest zbieżny prawie wszędzie (twierdzenie Carlesona-Hunta). Jest dużo klasycznych kryteriów na punktową zbieżność, na przykład gdy funkcja jest Lipchitzowska (a nawet tylko Hölderowska).