Matematyka.pl

Witam

Prosiłbym o rozwiązanie tych zadań krok po kroku z dokładnym wytłumaczeniem gdyż jestem w tych zadaniach całkowicie zielony

Znaleźć resztę z dzielenia:
a) \(\displaystyle{ 39 ^{100}}\) przez \(\displaystyle{ 38}\)
b) \(\displaystyle{ 16 ^{231} + 550}\) przez \(\displaystyle{ 17}\)
c) \(\displaystyle{ 3 \cdot 18 ^{18} - 500 \cdot 5 ^{120}}\) przez \(\displaystyle{ 8}\)
d) \(\displaystyle{ 423 ^{200} \cdot 562 ^{100}}\) przez \(\displaystyle{ 7}\)


Pokazać że liczba:
a) \(\displaystyle{ 222 ^{333} \ + 333 ^{222}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13}\)
b) \(\displaystyle{ \2222 ^{5555} +\ 5555 ^{2222}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\)

a) \(\displaystyle{ 39\equiv 1\pmod{38}}\), więc \(\displaystyle{ 39^{100}\equiv 1\pmod{38}}\), czyli reszta \(\displaystyle{ 1}\).

JK

Pokażę Ci drugie a) w sumie wszystkie są na jedno kopyto:

\(\displaystyle{ 222^{333}+333^{222}=1^{333}+8^{222}=1+(8^2)^{100} \cdot(8^2)^{10} \cdot 64=}\)

\(\displaystyle{ 1+64^{100} \cdot 64^{10} \cdot 64=1+12^{100} \cdot 12^{10} \cdot 12=}\)

\(\displaystyle{ 1+\left( 12^2\right)^{50} \cdot \left( 12^2\right)^{5} \cdot 12=1+144^{50} \cdot 144^{5} \cdot 12=}\)

\(\displaystyle{ 1+1^{50} \cdot 1^5 \cdot 12=1+12=13=0}\)

Oczywiście wszystkie te przejścia są:

\(\displaystyle{ \mod 13}\)

Zadanie 2 b) już się pojawiło na forum, wraz z rozwiązaniem (seria II, zadanie 4.):
57522.htm


To się nazywa pamięć. Znakomicie to wykorzystam, jak będę pracować w Biedro po tych bezsensownych studiach matematycznych (kody na produkty można zapamiętać czy coś).