Matematyka.pl

Witam serdecznie,
Poniższe zadanie pochodzi z konkursu ST (dr A. Marczak)

Treść brzmi: oblicz granicę oraz zbadaj monotoniczność ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{ n->\ \infty } \left( 1- \frac{5}{n} \right) ^{n+4}}\)

O ile granica to żaden problem, to monotoniczność sprawia mi kłopot. W zasadzie, cały egzamin sprawił większości osób kłopot. Zdało go około 10 max. 15 osób na 180... Próbowałem to rozwiązać na kilka sposobów, każdy był zły. Liczę na Państwa pomoc.

Pozdrawiam!

Co do monotoniczności, przyjrzyj się rozważaniom z tego wątku:
369958.htm


A jak Ci się nie chce tego czytać, to dla \(\displaystyle{ n>5}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ left(1- frac{5}{n}
ight) ^{n+4}<left( 1-frac{5}{n+1}
ight)^{n+5} Leftrightarrow \ Leftrightarrow left( 1+ frac{5}{n-5}
ight)^{n+4}>left( 1+ frac{5}{n-4}
ight)^{n+5} Leftrightarrow \ Leftrightarrow left( frac{n(n-4)}{(n-5)(n+1)}
ight)^{n+4} >1+ frac{5}{n-4} Leftrightarrow \ Leftrightarrow left( 1+ frac{5}{(n-5)(n+1)}
ight)^{n+4}>1+ frac{5}{n-4}}\),
natomiast z mamy
\(\displaystyle{ left( 1+ frac{5}{(n-5)(n+1)}
ight)^{n+4}ge 1+ frac{5(n+4)}{(n-5)(n+1)}}\),
więc wystarczy uzasadnić, że
\(\displaystyle{ 1+ frac{5(n+4)}{(n-5)(n+1)}ge 1+ frac{5}{n-4}}\) dla \(\displaystyle{ n>5}\),
a to po skracaniach i wymnożeniu na pałę przez iloczyn mianowników sprowadza się do
\(\displaystyle{ 4n ge 11}\), co dla \(\displaystyle{ n>5}\) jest oczywiste.


A dla \(\displaystyle{ nle 5}\) obawiam się, że trzeba sprawdzać ręcznie. Mnie się nie chce tego rozpisywać. Nie wiem w ogóle, do czego to potrzebne.