Konkurs Politechniki Warszawskiej 2018

Kangur, Alfik, Mistrzostwa w Grach Logicznych, Sejmik, Konkurs PW... Słowem - konkursy ogólnopolskie, ale nie OM.
pawlo007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 22 paź 2016, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Konkurs Politechniki Warszawskiej 2018

Post autor: pawlo007 » 8 kwie 2018, o 16:02

Witam przygotowuje się do finału konkursu politechniki i utknąłem na takim zadaniu z finału z 2015 roku
Udowodnić prawdziwość następującej nierówności dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x, y, z:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{3}}{ (x+y)^{2} } + \frac{ y^{3} }{ (y+z)^{2} } + \frac{ z^{3} }{ (z+x)^{2} } \ge \frac{x+y+z}{4}}\)
Próbowałem to dosyć długo robić z nierówności między średnimi, ale niestety nic z tego mi nie wychodziło.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14319
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 4705 razy

Re: Konkurs Politechniki Warszawskiej 2018

Post autor: Premislav » 8 kwie 2018, o 16:21

Lemat:
\(\displaystyle{ frac{x^3}{(x+y)^2} ge frac{2x-y}{4}}\)
dla dowolnych dodatnich \(\displaystyle{ x,y}\).
Dowód lematu:
równoważne
\(\displaystyle{ 4x^3ge (2x-y)(x+y)^2\ left(x-y ight)^2(2x+y)ge 0}\)
co jest jasne dla dodatnich \(\displaystyle{ x,y}\).
Następnie:
Dodajemy trzy podobne nierówności stronami dla \(\displaystyle{ (x,y), (y,z), (z,x)}\) i do widzenia.
Tu był dobry artykuł o tym, jak wymyślać takie lematy:
http://www.deltami.edu.pl/temat/matemat ... i_styczne/

Ta nierówność już kilka razy pojawiała się na tym forum.

-- 8 kwi 2018, o 15:30 --

Można również i tak:
z nierówności Höldera mamy
\(\displaystyle{ left( (x+y)+(y+z)+(z+x) ight)^{frac 2 3} left( frac{ x^{3}}{ (x+y)^{2} } + frac{ y^{3} }{ (y+z)^{2} } + frac{ z^{3} }{ (z+x)^{2} } ight)^{frac 1 3} ge x+y+z}\)
dla dowolnych dodatnich \(\displaystyle{ x,y,z}\), podnosimy następnie do 3. potęgi, dzielimy stronami przez dodatnie
\(\displaystyle{ 4left( x+y+z ight)^2}\) i załatwione. Tutaj masz nierówność Höldera:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B ... C3%B6ldera-- 8 kwi 2018, o 15:34 --Tutaj znalazłem dłuższą dyskusję na temat tej nierówności, może się przydać:
415517.htm

pawlo007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 22 paź 2016, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Re: Konkurs Politechniki Warszawskiej 2018

Post autor: pawlo007 » 8 kwie 2018, o 16:55

Wielkie dzięki

ODPOWIEDZ